Algebraische Methoden in der Kinematik: Bewegungsfaktorisierung und Bond Theorie

Methoden aus der Algebra und der algebraischen Geometrie werden häufig in der Kinematik verwendet. Da der Konfigurationsraum eines Getriebes als Lösungsmenge eines algebraischen Gleichungssystems mit Parametern beschrieben werden kann, lassen sich Synthese, Analyse, und Klassifikationsprobleme von Getrieben stets reduzieren auf Quantoreneliminationsprobleme über reell geschlossenen Körpern. Diese können im Prinzip mit existierenden Algorithmen und Programmen gelöst werden. Allerdings ist die Komplexität der betreffenden Systeme insbesondere die Anzahl der Variablen und Parameter so hoch, daß die meisten interessanten Probleme in der Kinematik weit außerhalb der Reichweite der Eliminationstheorie sind. Besser geeignet ist ein Ansatz, der die bekannte Tatsache ausnützt, daß die euklidische Bewegungsgruppe isomorph ist zur Gruppe der dualen Einheitsquaternionen modulo plus/minus 1. Dieser Gruppenisomorphismus ist die Grundlage zweier algebraischer Techniken, die wir kürzlich im Zusammenhang von Mechanismen mit Rotationsgelenken eingeführt haben, nämlich die Faktorisierung der Bewegungspolynome und die Theorie der Bonds.Diese beiden Techniken sind im geplanten Projekt zentral. Sein Ziel ist die Weiterentwicklung von algebraischen Methoden und Algorithmen sowie deren Anwendung zur Konstruktion (Synthese), Analyse und Klassifikation von Gelenksgetrieben mit speziellen Eigenschaften. Bewegungspolynome sind Linkspolynome über den dualen Quaternionen, die Bewegungen von festen Körpern parametrisieren. Lineare Bewegungspolynome parametrisieren stets Bewegungen, die durch ein Rotations- oder Schubgelenk eingeschränkt sind, und daher liefert die Faktorisierung eines Bewegungspolynoms in lineare Faktoren eine Zerlegung durch Rotations- oder Schubbewegungen. Da die Faktorisierung nicht eindeutig ist, erhält man mehrere Arten, ein und dieselbe Bewegung als Bewegung des Endeffektors eines offenen Gelenksgetriebes darzustellen, und diese können auf mehrere Arten zu geschlossenen Getrieben kombiniert werden. Die Kombination von rationeler Interpolation, Gleichungen über den dualen Quaternionen, und Faktorisierung von Bewegungen könnte ein vielversprechendes Hilfsmittel zur Synthese von Mechanismen sein. Bonds wurden zum Zweck der Untersuchung von algebraischen Strukturen von Mechanismen mit Rotationsgelenken eingeführt. Man definiert sie als Elemente des Randes der Komplexifizierung einer geeigneten Kompaktifizierung des Konfigurationsraums. Bei einer genaueren Untersuchung zeigen sich virtuelle Verbindungen zwischen Gliedern, die nicht durch Gelenke verbunden sind; deren geometrische Bedeutung ist zwar noch unklar, sie wirken sich aber auf die algebraische Struktur der Getriebe aus. Das Potential der Theorie der Bonds für die Analyse von geschlossenen Mechanismen hat sich bereits zu zeigen begonnen; wir planen, diese Richtung noch zu vertiefen, aber auch durch Verallgemeinerung auf andere Klassen von Mechanismen zu erweitern.

Gelenkmechanismen bestehen aus festen Körpern (Gliedern), die miteinander durch Drehgelenke, Schubgelenke, Schraubgelenke oder Kugelgelenke verbunden sind. Ein Grundproblem in der Kinematik ist die Berechnung der möglichen Bewegungen von vorgegebenen Gelenkmechanismen. Darauf aufbauend kann man Mechanismen konstruieren, die eine vorgegebene Bewegung ausführen. Eine besondere mathematische Herausforderung ist die Untersuchung von Gelenkmechanismen mit paradoxer Beweglichkeit, also solcher, bei denen die Anzahl der Bestimmungsgleichungen grösser oder gleich der Anzahl der Freiheitsgrade ist und die sich demnach eigentlich gar nicht bewegen dürften. Obwohl Beispiele schon lange bekannt sind, ist es oft schwierig, diese Bewegungen zu erklären und zu klassifizieren. Im Vorfeld des Projekts wurden von den Antragstellern zwei algebraische Methoden zu genau diesem Zweck entwickelt, nämlich die Theorie der Bewegungspolynome und die Theorie der Bonds. Diese Methoden wurden im Projekt auf verschiedene Klassen von Gelenkmechanismen angewandt und erwiesen sich als äußerst schlagkräftig. Für Mechanismen mit bis zu fünf Dreh-, Schraub-, oder Schubgelenken haben wir nun eine vollständige Klassifikation der paradoxen Bewegungen. Eine Klassifikation gelang auch für Stewart-Plattformen mit bis zu fünf Beinen. Stewart- Plattform bestehen aus einer Basis, einer Plattform, und einer endlichen Menge von Beinen, die jeweils durch ein Kugelgelenk mit der Basis und der Plattform verbunden sind. Außerdem wurden Algorithmen zur Synthese von Mechanismen entwickelt, die eine rational parametrisierbare Bewegung ausführen. Diese kann dadurch gegeben sein, dass die eine vorgegebene Reihe von Posen interpoliert.