Modell-Unabhängigkeit und Optimaler Transport

Die Theorie des optimalen Massentransports geht zurück auf Monge (1781) und Kantorowitsch (1942). In der jüngeren Vergangenheit erfuhr dieses Gebiet angeregt durch den Satz von Brenier, sowie McCanns grundlegende Dissertation einen großen Aufschwung. Es ist heute für seine große Bandbreite von Anwendungen in verschiedensten Teilgebieten der Mathematik bekannt; von Mathematischer Physik, der Theorie partieller Differentialgeleichungen bis hin zu geometrischen Ungleichungen. Die modellunabhängige Finanzmathematik ist deutlich jünger, hat sich jedoch rasch zu einem eigenständigen Gebiet entwickelt. Übergroßes Vertrauen in mathematische Modelle sowie das Unvermögen, das Modellrisiko zu berücksichtigen, wird für Finanzkrisen mitverantwortlich gemacht. Ziel der modellunabhängigen Finanzmathematik ist es, das Modellrisiko zu verstehen sowie dessen Auswirkungen zu quantifizieren. Die Verbindung dieser beiden Gebiete (jüngst von Galichon, Henry-Labordere, Penkner, Touzi und dem Antragsteller entwickelt) steht im Zentrum unserer Forschung. Grundlegender Ausgangspunkt ist folgender: Interpretiere die zeitliche Entwicklung eines Martingals S als eine Methode Verteilungen von einem Zeitpunkt zum nächsten zu transportieren. Das Martingal-Transportproblem ergibt sich aus der Perspektive der modell-unabhängigen Finanzmathematik: Sei S der Preis einer Aktie, dann bestimmen Marktdaten im Wesentlichen die Verteilungen von S zu einzelnen Zeitpunkten. Unklar ist, wie sich S von einem zum nächsten Zeitpunkt bewegt. Das Problem extremale Preise zu finden entspricht dem Transportproblem für Martingale. Optimal Transport liefert eine Dualitätstheorie für modellunabhängige Finanzmathematik. Ein Hauptziel des Antrags ist es, diese in der notwendigen Allgemeinheit zu entwickeln. Anwendungen gehen über die Finanzmathematik hinaus. Es ist dem Antragssteller und seinen Koautoren mit diesen Techniken gelungen, neue, elementare Beweise der Ungleichungen von Doob und Burkholder-Davis-Gundy zu geben. Der duale Zugang scheint wie geschaffen zur Behandlung einer ganzen Reihe von analytischen und Martingal-Ungleichungen. Die Transporttheorie verfügt über gut entwickelte Optimalitätskriterien. Resultate des Antragsstellers erlauben es, diese in ein Variationsprinzip für den Martingaltransport zu übersetzen. Anwendungen reichen vonBreniers Satz bis hin zum Skorokhod`schen Einbettungsproblem. Dieses Prinzip erlaubt einen systematischen Zugang zur modellunabhängigen Preisbestimmung, es zeichnet einen numerisch gangbaren Weg zur Berechnung der optimalen, robusten Schranken vor und erlaubt die Charakterisierung der Gleichheitfälle scharfer Ungleichungen.

Vorbemerkung: Im Juni 2014 wurde dem Antragsteller ein START-Preis Projekt des FWF zuerkannt. Gemäß der FWF-Richtlinien wurde das Projektes P26736 nach 11 Monaten (geplant: 36 Monate) Laufzeit eingestellt und die Forschungsarbeiten werden im Rahmen des START-Projektes fortgeführt. Daher wurde nur die erste Phase des Projektes durchgeführt. Grundlegendes Thema des Projektes war eine Verbindung der Gebiete des optimalen Massen- Transports und der Modellunabhängigen Finanzmathematik. Die Theorie des optimalen Massen-Transports geht zurück auf Monge (1781) und Kantorowitsch (1942). In der jüngeren Vergangenheit erfuhr dieses Gebiet - angeregt durch den Satz von Brenier, sowie McCanns grundlegende Dissertation - einen großen Aufschwung. Es ist heute vor allem für seine große Bandbreite von Anwendungen in verschiedensten Teilgebieten der Mathematik bekannt; von Mathematischer Physik, der Theorie partieller Differentialgeleichungen bis hin zu geometrischen Ungleichungen. Die Disziplin der modell-unabhängigen Finanzmathematik ist deutlich jünger, hat jedoch - ausgehend von Hobsons fundamentaler Arbeit über Look- back Optionen - eine rasante Entwicklung durchlaufen. Im Gegensatz zur klassischen Finanzmathematik, die versucht unter spezifischen Modellannahmen einen exakten Preis zu bestimmen, besteht das Ziel der modell-unabhängigen Finanzmathematik darin, konservative aber robuste Schranken für Optionspreise zu bestimmen. Die Verbindung dieser beiden - zuvor nicht verwandten - Gebiete (jüngst von Galichon, Henry-Labordere, Penkner, Touzi und dem Projektleiter entwickelt), stand im Zentrum unserer Forschung. Ausgangspunkt ist dabei folgender: Interpretiere die zeitliche Entwicklung eines Martingals S als eine Methode Verteilungen von einem Zeitpunkt zum nächsten zu transportieren. Dieses Martingal-Transport-Problem ergibt sich auf natürliche Weise aus der Perspektive der modell- unabhängigen Finanzmathematik. Wenn S den Preis einer Aktie repräsentiert, dann sind durch Marktdaten die Verteilungen von S zu einzelnen Zeitpunkten im Wesentlichen bekannt. Unklar ist hingegen, wie sich S von einem zum nächsten Zeitpunkt bewegt. Das Problem minimale bzw. maximale Preise zu bestimmen entspricht genau der Formulierung des Massen- Transportproblems für Martingale. Im Rahmen des Projektes konnten wesentliche Fortschritte in der Robusten Finanzmathematik erzielt werden, wir heben zwei Ergebnisse hervor: mit unseren Kooperationspartnern Cox und Huesmann wurde eine systematische Methode entwickelt um den minimalen/maximalen Preis von exotischen Derivaten zu bestimmen. Weiters gelang es uns gemeinsam mit Perkowski und Proml eine robusten Superreplikationssatz zu beweisen. (Während solche Resultate in der klassischen Finanzmathematik wohlbekannt sind, ist es ein wichtiges offenes Problem modellunabhängige Entsprechungen zu herzuleiten.) Fortschritte in Wahrscheinlichkeitstheorie betreffen eine Arbeit mit Nutz in der wir den genauen Zusammenhang zwischen Martingalungleichungen und deren pfadweisen Entsprechungen herausarbeiten und eine Kooperation mit Schachermayer in der wir in einem wichtigen Fall die optimale Konstante der BDG-Ungleichung bestimmen (ein seit über 40 Jahren offenes Problem).