Mengenlehre der reellen Zahlen und großes Kontinuum

Wir untersuchen neue forcing Methoden: oracle/preparatory Konstruktionen und creature Konstructionen mit continuous reading of names (bounding und non-bounding), und wenden sie auf Fragen über Kardinalzahl-Charakteristiken, Maßtheorie und Topologie an.

Die Mathematik operiert auf natürliche und nützliche Weise mit unendlichen Mengen. Die Größe (das heißt, die Anzahl der Elemente) von Mengen nennt man Kardinalität. Insbesondere nennt man die Kardinalität der natürlichen Zahlen "abzählbar", und die der reellen Zahlen "Kontinuum". Schon Cantor hat gezeigt, dass Kontinuum größer ist als abzählbar (und weiters dass es zu jeder Kardinalität eine größere gibt). Die Kontinuushypothese (CH) besagt, dass es keine Kardinalität zwischen abzählbar und Kontinuum gibt. Gödel und Cohen haben gezeigt, dass man CH weder beweisen noch widerlegen kann. In der Mathematik gibt es mehrere wichtige Begriffe von "vernachlässigbar kleine Menge von reellen Zahlen". Ein Beispiel ist "von Lebesgue Maß null", kurz "Nullmenge". Man kann nun zum Beispiel die Frage stellen: Wie groß ist die kleinste Teilmenge der reellen Zahlen, die keine Nullmenge ist? Die Antwort auf diese Frage ist eine Kardinalzahl, genannt non(N), die, wie man leicht sehen kann, größer als abzählbar aber höchstens Kontinuum ist. (Dementsprechend ist die Frage nicht interessant wenn man CH voraussetzt: Dann ist die Antwort trivialerweise "Kontinuum".) Eine andere Frage (die ein anderes Kardinalzahl-Charakteristikum definiert), wäre: Was ist die minimale Kardinalität einer Familie von Nullmengen, deren Vereinigung keine Nullmenge ist? Die Antwort auf diese Frage nennt man auch add(N). non(N) und add(N) sind sogenannte Kardinalzahl-Charakteristika. Auch für andere Begriffe von "vernachlässigbar kleine" kann man analoge Kardinalzahlen definieren, insbesondere für "abzählbar" oder "mager" oder "sigma-kompakte Menge von Irrationalzahlen". Die wichtigsten dieser Kardinalzahl-Charakteristika sind im sogenannten "Cichon Diagramm" zusammengefasst. Dieses Diagramm hat 12 Einträge (wenn man aleph1 und Kontinuum mitrechnet), zwei davon lassen sich allerdings direkt aus den restlichen berechnen, wodurch 10 "unabhängige" Werte übrig bleiben. Das Diagramm zeigt auch die beweisbaren Ungleichungen (kleiner-oder-gleich Beziehungen) zwischen den Einträgen. So kann man zum Beispiel recht leicht beweisen, dass add(N) kleiner-oder-gleich non(N) sein muss. Wie bereits angedeutet sind unter CH all diese kleiner-oder-gleich Beziehungen tatsächlich gleich (weil alle zehn Einträge des Diagramms gleich Kontinuum sind). Man wusste schon seit vielen Jahren, dass jede einzelne der kleiner-oder-gleich Beziehung im Diagramm konsistenterweise auch echt-kleiner sein kann. So ist zum Beispiel konsistenterweise add(N) kleiner als non(N). In der Arbeit "Cichon's Maximum", die vom FWF gefördert und 2019 in den Annals of Mathematics veröffentlicht wurde, zeigen wir nun: Konsistenterweise nehmen alle zehn Einträge in Cichon's Diagramm (zugleich) zehn verschiedene Werte an. (Für den Beweis wird allerdings die Konsistenz gewisser großer Kardinalzahlen vorausgesetzt).