Rados Vermutung, die Baumeigenschaft, Quadratprinzipien und Topologie

Ziel dieses Projektes ist, Anwendungen und Eigenschaften einer sehr schwachen Kompaktheitseigenschaft mittels Rados Vermutung RC, wurde vor ungefähr 30 Jahren von Richard Rado aufgestellt. Rados Vermutung ist ein Kompaktheitsprinzip der chromatischen Zahl von Schnittgraphen über Familien von Intervallen in linearen Ordnungen. Das Prinzip besagt, dass jeder solche Graph mit überabzählbarer chromatischer Zahl einen Teilgraphen ebenfalls überabzählbarer chromatischer Zahl besitzt, dessen Grösse gleich der ersten überabzählbaren Kardinalzahl ist. Stevo Todorcevic hat 1983 gezeigt, dass RC konsistent mit aber unabhängig von den üblichen Axiomen der Mengenlehre ist. Später 1993, hat Todorcevic gezeigt, dass RC ähnliche kombinatorische Prinzipien impliziert wie Martins Maximum: RC impliziert die Singular Cardinal Hypothesis, die Negation von Jensens Square Prinzip, es beschränkt das Kontinuum durch die zweite überabzählbare Kardinalzahl, etc. Allerdings ist RC unverträglich mit einen der ersten Forcing Axiome, nämlich Martins Axiom. Zwei aktuelle Arbeiten, nämlich eine von Hiroshi Sakae und eine gemeinsame Arbeit vom Antragsteller mit Todorcevic, erarbeiten ein allgemeines und fast vollständiges Verständnis der Beziehung von RC zu schwachen Versionen des Square Prinzips. Unser Ziel ist jetzt, ein Verständnis von RC zu Todorcevics Square Prinzip mit zwei Kardinalzahlen zu erarbeiten, ähnlich dem für Schimerlings Square Prinzip für zwei Kardinalzahlen. Vor Kurzem haben wir einige erste Resultate erzielt und Teil dieses Projekts soll sein, diese Arbeit fortzuführen. In einer gemeinsamen Arbeit mit Liuzhen Wu ist uns gelungen zu beweisen, dass RC zusammen mit der Negation der Kontinuumshypothese die Baumeigenschaft für die zweite überanzählbare Kardinalzahl impliziert, sogar die starke Baumeigenschaft. Es ist nicht bekannt, ob man auch die Super Baumeigenschaft bekommt. Das ist eine offene Frage, die wir im Rahmen dieses Projekts studieren möchten. Inhalt dieses Projektes soll ausserdem sein, RC in einen weiteren Kontext zu verstehen. Auch wenn Martins Axiom nicht konsistent mit RC ist, so würden wir doch gerne wissen, ob RC mit interessanten, schwachen Versionen von Martins Axiom konsistent ist. Vor Kurzem hat Fuchino gezeigt, dass RC ein Reflexionsprinzip à la Fodor impliziert, das äquivalent zu vielen topologischen Reflexionsprinzipien? Ziel des Projektes ist, diese und ähnliche Fragen zu beantworten.

Wir haben neue Aspekte eines kürzlich eingeführten kombinatorischen Prinzips namens ,,Rados Vermutung (RC) untersucht. Dieses Prinzip hat innerhalb der modernen Mengenlehre zwei Besonderheiten im Kontext: Einerseits ist es unabhängig von den traditionellen Axiomen der Mathematik. Auf der anderen Seite ist es nicht kompatibel mit häufig verwendeten zusätzlichen Axiomen, wie den Forcing Axiomen. Die Rados Vermutung hat jedoch ähnliche Konsequenzen wie diese Forcing Axiome. Diese Folgerungen beinhalten, dass die Größe der reellen Zahlen nicht größer sein kann als die zweite überabzählbare Kardinalzahl, die singuläre Kardinalhypothese, die Negation des quadratischen Prinzips usw.In diesem Projekt erarbeiteten wir neue Ergebnisse zusammen mit mehreren Koautoren von Universitäten in China, Frankreich, Japan und Österreich, die das Prinzip RC und ihre Beziehung zu bestimmten schwachen quadratischen Prinzipien und Beispielen von Baumeigenschaften betrafen. Diese neuen Implikationen scheinen weiterhin darauf hinzudeuten, dass RC eine gute Alternative zu Forcing Axiomen ist. Wir haben überlegt, in welchem Umfang dies zutreffen könnte und wo wir einige Einschränkungen finden können. Diese Projekte haben noch einige interessante offene Probleme hinterlassen und mögliche neue Richtungen eröffnet.