Konvergenzeigenschaften von orthogonalen Splinereihen

Das Ziel des vorliegenden Projekts ist eine detaillierte Untersuchung verschiedener Konvergenz- eigenschaften orthogonaler Splinereihen für beliebige Splinegrade und beliebige Gitterpunktfolgen. Ein Spezialfall solcher Reihen ist z.B. die Entwicklung einer Funktion in ihre Haarreihe, die durch Spezialisierung auf den Splinegrad 0 und auf die dyadische Gitterpunktfolge aus den eben genannten Reihen hervorgeht. Die zu bearbeitenden Probleme reichen sowohl über Konvergenz fast überall sowie Konvergenz und unbedingte Konvergenz in verschiedenen topologischen Vektorräumen wie z.B. den Lebesgueschen L^p-Räumen oder den Hardyräumen H^p. Neben skalarwertigen Funktionen definiert auf Intervallen werden darüber hinaus auch periodische und vektorwertige (d.h. UMD- wertige) Funktionen untersucht. Die Motivation für die Betrachtung solcher Probleme liegt neben der Wichtigkeit von Splines in verschiedensten Gebieten der Mathematik und zahlreichen Anwendungen auch im Wunsch der systematischen Erweiterung von existierenden Resultaten, die sich im betrachteten Splinegrad und/oder der betrachteten Gitterpunktfolge spezialisieren.

Wir behandeln qualitative und quantitative Konvergenzeigenschaften von Splinefolgen. Splinefunktionen sind stückweise Polynomfunktionen die gewisse Glattheitseigenschaften an den Bruchstellen besitzen und sie stellen ein wichtiges Instrument der Approximationstheorie dar. Der Schwerpunkt in diesem Projekt liegt darin, dass die untersuchten Konvergenzeigenschaften nicht von der Folge der Bruchstellen abhängen und somit für alle Bruchstellenfolgen gelten. Wir erhalten allgemeine Resultate über punktweise Konvergenz (Stichwort fast-überall Konvergenz), aber auch über Konvergenzeigenschaften in gewissen Funktionenräumen. Die Ergebnisse dieses Projekts bilden die theoretische Basis für die schnelle Konvergenz von adaptiven Spline-Algorithmen und haben unter anderem Anwendungen bei der numerischen Lösung von gewissen physikalischen Problemen.