Banach Gelfand Triple und Born-Jordan Quantisierung

Der Plan dieses Projektes ist eine wesentliche Stärkung der Querverbindungen zwischen der Zeit-Frequenz-Analyse (ZFA) und der Quanten-Mechanik (QM). Im Zentrum der ZFA steht die Darstellung von "Signalen" durch glatte Funktionen über dem Phasenraum. QM hingegen bildet eine theoretische Basis für die Erklärung vieler Phänomene der modernen Physik im atomaren und sub-atomaren Bereich. Obwohl diese beiden Disziplinen oft sehr ähnliche mathematische Formalismen und manchmal sogar die gleiche Terminologie verwenden, kann man keineswegs behaupten, dass die Querverbindungen zwischen den beiden Gebieten ausreichend erforscht und verstanden wären. Das liegt unter anderem an den unterschiedlichen Konzepten die in diesen beiden Wissenschaftszweigen dominieren. Das vorliegende Projekt versucht einen substantiellen Beitrag zur Stärkung dieser Querverbindungen zu liefern. Den Ausgangspunkt dazu bildet die von Hans Feichtinger entwickelte Theorie der Banach Gelfand Triple (BGTR), auf der Basis der nach ihm benannten Segal Algebra, welche in der ZFA als modulation space als universelles Tool Eingang gefunden hat. Dieses Werkzeug hat bisher noch keinen Eingang in die QM gefunden. Wir sind davon überzeugt, dass dieses Setting (und die bereits entwickelten Resultate, wie der Kernsatz) nicht nur innerhalb der ZFA bzw. sogar im Rahmen der klassischen Fourier Analysis von grossem Nutzen sein kann, sondern eben auch im Rahmen der QM. Beispielsweise kann in diesem Rahmen der bekannte "bra-ket" Dirac Formalismus mathematisch sauber und mit geringem technischen Aufwand beschrieben werden. Genausogut können aber auch der Kohn-Nirenberg Kalkül oder der Weyl Kalkül für Pseudo- Differentialoperatoren in diesem Kontext einwandfrei beschrieben werden, sowie allgemeine Quantisierungsfragen mit geeigneten Funktionenräumen (z.B. Modulationsräume, Schatten- Klassen). In konkreter Schwerpunkt des Projektes soll das Studium der Born-Jordan Korrespondenz sein, welche in juengster Zeit von Mathematikern, die im Bereich der ZFA Analyse arbeiten, wiederentdeckt wurde. Obwohl die Born-Jordan Quantisierung zu den ältesten Quantisierungsregeln gehört (1925) wurde sie bisher noch wenig untersucht, wohl vor allem wegen einiger mathematischer Schwierigkeiten im Vergleich zu der bekannteren Kohn- Nirenberg oder Weyl Korrespondenzabbildung (sie ist z.B. weder injektiv noch surjektiv). Numerischen Experimente (z.B. Boggiatto und Mitarbeiter, Turunen) sind in starkes Indiz dafür, dass die Born-Jordan Quantisierung jedoch nicht nur fuer die QM interessante Eigenschaften hat, sondern auch für Anwendungen in der Signalanalysis interessant sein könnte. Es wäre sinnvoll, die in der Zwischenzeit verfügbaren Resultate (vor allem aus der ZFA Analysis), zu einem neuerlichen Studium dieser Quantisierung zu verwenden. Es gibt in diesem Zusammenhang eine Reihe von offenen Problemen, deren Beantwortung interessante Resultate erwarten lassen. Beispielsweise ist derzeit noch kaum etwas bekannt, was die spektralen Eigenschaften von Born-Jordan Pseudo-Differential-Operatoren betrifft. Das setting des auf der Feichtinger Algebra aufbauenden d-dimensional BGTR scheint hier ebenfalls einen guten Rahmen zu bilden. Teile dieses Projektes sind Weiterentwicklungen der Forschungen und der Resultate der früheren FWF Projekten FWF P23902 und P20442, welches eine große Anzahl Publikationen und neuen Resultate produziert hat.

Ziel des vorliegenden Projekts war es, das 1925 von Born und Jordan (und Heisenberg) vorgeschlagene Quantisierungsschema mathematisch zu erweitern und zu analysieren. Diese Forschung hat zu einer großen Anzahl veröffentlichter Arbeiten und zu einem Buch geführt, das vom Springer-Verlag veröffentlicht wurde. Wir haben den ursprünglichen Ansatz mit mathematischen Werkzeugen wie den Cohen-Klassen, der Gabor-Frametheorie und der harmonischen Analyse erweitert. Es ist überraschend, dass wir festgestellt haben, dass die Born- Jordan Quantisierungsregel im Gegensatz zur üblicherweise verwendeten Weyl Quantisierung tatsächlich die richtige Regel ist. Dies wird durch die jüngste Zusammenarbeit mit einem Team von Quantenchemikern des Max-Planck-Instituts in Garching bestätigt. Das Projekt ist daher sicherlich nicht abgeschlossen, sondern hat zu neuen und aufregenden Perspektiven geführt, mit potenziellen Anwendungen für angewandte Wissenschaften (Quantencomputer und Optik, Chemie, Kryptographie).