Analysis einiger Operatoren auf Räume holomorpher Funktionen

Ein Operator ist eine Abbildung einer Menge in eine andere, von denen jede eine bestimmte Struktur aufweist. Operatoren spielen eine zentrale Rolle in mehreren Zweigen der Physik und Ingenieurwissenschaften, und insbesondere hat sich die moderne Operatorentheorie zunächst als natürliche Sprache der Quantenmechanik entwickelt. Viele Operatoren der Quantenmechanik haben nützliche Darstellungen auf Räume analytischer Funktionen. Eines der bedeutendsten Beispiele in diesem Sinne ist der Fock/Segal-Bargmann Raum, der seinen Ursprung in der Untersuchung des harmonischen Oszillators durch seine Zersetzung in die Fock-Boson Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren findet. Darauffolgend wurden kompliziertere Strukturen eingeführt, nämlich vektorwertige Räume der analytischen Funktionen, die aus Funktionen mit Werten in einem unendlich dimensionalen Raum bestehen. Abgesehen davon, dass sie durch Anwendungen zu Ingenieurwissenschaften motiviert sind, bringen diese Strukturen neue mathematische Erkenntnisse an. Zum Beispiel spielten sie eine entscheidende Rolle bei der Lösung eines berühmten langjährigen offenes Problem in Operatorentheorie, das sogenannte Halmos Problem, das von dem französischen Mathematiker Gilles Pisier gelöst wurde, wobei eine speziellen Klasse von Operatoren, nämlich die Hankel Operatoren, verwendet wurde. Hankel Operatoren haben eine Vielzahl von Anwendungen auf verschiedenen Gebieten, einschließlich Kontrolltheorie, Prediction Theorie, Approximationstheorie und Stationäre Prozesse. Das Ziel dieses Projektes besteht darin, verschiedene Klassen von Operatoren (insbesondere Hankel und Toeplitz Operatoren) auf vektorwertige Fock Räume zu untersuchen, ein natürliches Thema, das bisher wenig erforscht wurde, das die jüngsten Studien ergänzen würde und zu einem besseren Verständnis des vektorwertigen Falls führen würde. Im Vergleich zu den endlichdimensionalen Zusammenhang bietet der vektorwertige Fall nicht nur neue Herausforderungen an - und daher erfordert die Entwicklung neuer Techniken - aber es bringt auch viele Überraschungen. Die jüngste Literatur erweist einen starken Kontrast zwischen dem Verhalten dieser Strukturen in den endlich-dimensionalen bzw. unendlich- dimensionalen Rahmenbedingungen, ein Kontrast, der zum Beispiel die Lösung des berühmtes Halmos Problem kräftig ausgeprägt hat. Genauer gesagt wird die Beziehung zwischen vielen Grundkonzepten in unendliche Dimension wesentlich komplizierter, und es wurde bisher weniger verstanden. Während der 24 Monate des Projekts wird ein Postdoc unter der Betreuung der Projektleiterin diese Probleme und offene Fragen untersuchen.

Ein Operator ist eine Abbildung einer Menge in eine andere, von denen jede eine bestimmte Struktur aufweist. Operatoren spielen eine zentrale Rolle in mehreren Zweigen der Physik und Ingenieurwissenschaften, und insbesondere hat sich die moderne Operatorentheorie zunächst als natürliche Sprache der Quantenmechanik entwickelt. Viele Operatoren der Quantenmechanik haben nützliche Darstellungen auf Räume analytischer Funktionen. Eines der bedeutendsten Beispiele in diesem Sinne ist der Fock/Segal-Bargmann Raum, der seinen Ursprung in der Untersuchung des harmonischen Oszillators durch seine Zersetzung in die Fock-Boson Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren findet. Darauffolgend wurden kompliziertere Strukturen eingeführt, nämlich vektorwertige Räume der analytischen Funktionen, die aus Funktionen mit Werten in einem unendlich dimensionalen Raum bestehen. Abgesehen davon, dass sie durch Anwendungen zu Ingenieurwissenschaften motiviert sind, bringen diese Strukturen neue mathematische Erkenntnisse an. Zum Beispiel spielten sie eine entscheidende Rolle bei der Lösung eines berühmten langjährigen offenes Problem in Operatorentheorie, das sogenannte Halmos Problem, das von dem französischen Mathematiker Gilles Pisier gelöst wurde, wobei eine speziellen Klasse von Operatoren, nämlich die Hankel Operatoren, verwendet wurde. Hankel Operatoren haben eine Vielzahl von Anwendungen auf verschiedenen Gebieten, einschließlich Kontrolltheorie, Prediction Theorie, Approximationstheorie und Stationäre Prozesse. Das Ziel dieses Projektes bestand darin, verschiedene Klassen von Operatoren (insbesondere Hankel und Toeplitz Operatoren) auf vektorwertige Fock Räume zu untersuchen, ein natürliches Thema, das bisher wenig erforscht wurde, das die jüngsten Studien ergänzt und zu einem besseren Verständnis des vektorwertigen Falls führt. Im Vergleich zu den endlichdimensionalen Zusammenhang bietet der vektorwertige Fall nicht nur neue Herausforderungen an - und daher erfordert die Entwicklung neuer Techniken - aber es bringt auch viele Überraschungen. Genauer gesagt wird die Beziehung zwischen vielen Grundkonzepten in unendliche Dimension wesentlich komplizierter. Während der 24 Monate des Projekts hat ein Postdoc unter der Betreuung der Projektleiterin diese Probleme und offene Fragen untersucht.