Additive Kombinatorik über endlichen Körpern und Anwendungen

Additive Kombinatorik untersucht, grob gesagt, arithmetische Strukturen endlicher Mengen. Es ist ein Zeichen für das hohe Niveau an Aktivitäten in diesem Forschungsgebiet, dass es Hauptforschungsgebiet von drei Fields- Medaillisten geworden ist (Terence Tao, Timothy Gowers, and Jean Bourgain) und weitere hoch-dekorierte Mathematiker (wie z.B. Ben Green, Nets Katz und Endre Szemeredi) auf diesem Gebiet arbeiten. Additive Kombinatorik über endlichen Körpern ist besonders wegen seiner Anwendungen in der Informatik, Kryptographie und Codierungstheorie interessant. Es ist ein sehr altes Gebiet mit gefeierten Ergebnissen wie dem Satz von Cauchy-Davenport. Die neuen Ergebnisse zum Summen-Produktproblem von Bourgain, Katz und Tao haben in den letzten Jahren zu zahlreichen neuen Aktivitäten auf diesem Gebiet geführt. Sie zeigten, dass für eine (nicht zu große) Teilmenge A eines endlichen Körpers entweder die Produktmenge AA oder die Summenmenge A+A wesentlich größer als A ist. Seitdem ist das Interesse an diesem Gebiet stark gestiegen. Unter anderem werden wir folgende Probleme behandeln, die entweder direkt aus der additiven Kombinatorik stammen oder mit Anwendungen verknüpft sind, bei denen Methoden aus der additiven Kombinatorik sehr vielversprechend sind: - Summen-Produkt Probleme und verwandte Fragestellungen - Charakter Summen mit Faltungen und Balog-Wooley Zerlegung - Überdeckungsmengen und Packungsmengen, Umschreibe-Schemata und Fehlerkorrektur - das Waring-Problem in endlichen Körpern und Überdeckungscodes - Summen von Lehmer-Zahlen. Wir benutzen eine Sammlung verschiedener Methoden und ihren Kombinationen einschließlich - Sätze aus der Inzidenzgeometrie - Charaktersummen-Techniken - die Polynommethode - die probabilistische Methode - lineare Optimierung - Methoden aus der algebraischen Geometrie. Dieses Projekt verbindet verschiedene sehr erfolgreiche Forschungsrichtungen, die sich gegenseitig ergänzen. Zum Beispiel ist eine Kombination von Inzidenzgeometrie und Charaktersummen sehr vielversprechend. Wir erwarten Ergebnisse und neue Methoden, die einen wesentlichen Fortschritt sowohl zu Theorie als auch zu Anwendungen leisten werden.

Additive Kombinatorik studiert die arithmetische Struktur endlicher Mengen und ist ein Hauptforschungsgebiet von drei Fields Medaillisten (Terence Tao, Timothy Gowers und Jean Bourgain) und weiterer führender Mathematiker (wie Ben Green, Nets Katz und Endre Szemeredi). Additive Kombinatorik über endlichen Körpern ist besonders interessant wegen ihrer Anwendungen in den Computerwissenschaften, in Kryptography und Codierungstheory. Es ist ein sehr altes Gebiet mit gefeierten Ergebnissen. In letzter Zeit gab es eine rege Aktivität auf diesem Gebiet. Eine wesentliche Forschungsrichtung war die Arbeit von Bourgain, Katz und Tao, die zeigt, dass für eine Teilmenge A eines endlichen Körpers entweder die Produktmenge oder die Summenmenge wesentlich größer als A ist. Seitdem hat dieses Gebiet weiter an Bedeutung gewonnen.. Unter anderem haben wir folgenden Probleme studiert, die entweder direct aus der additiven Kombinatorik stammen oder sich mit Anwendungen beschäftigen, bei denen Methoden aus der additiven Kombinatorik benutzt werden: - Summen-Product und verwandte Problem, - Character Summen mit Konvolutionen und Balog-Wooley Zerlegung, - Packungsmengen und Fehlerkorrektur, - Kakeya-artige Probleme. We haben eine Sammlung verschiedener Methoden benutzt: - Sätze aus der Inzidentgeometrie, - Charactersummen-Techniken, - Polynommethen, - Methoden aus der algebraischen Geometrie. https://www.oeaw.ac.at/ricam/research/projects/p30405-n32