Hyperfinite Methoden für verallgemeinerte Funktionen

Das Hauptziel dieses Projektes ist die Entwicklung hyperfiniter Methoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen im Rahmen der Theorie der verallgemeinerten glatten Funktionen. Diese Theorie ist eine Erweiterung der Colombeauschen Theorie verallgemeinerter Funktionen, die allgemeinere Definitionsbereiche zulässt und dadurch die uneingeschränkte Verknüpfung von verallgemeinerten Funktionen erlaubt, sowie ein besseres Verhalten auf unendlichen Mengen. Unter hyperendlichen Methoden verstehen wir dabei die Verwendung von unendlich großen ganzzahligen Colombeau-Zahlen, sowie von abgeschlossenen Intervallen mit unendlichen Randpunkten. Erstere werden wir zur Konstruktion verallgemeinerter Potenzreihen verwenden, was schließlich in einem allgemeinen Cauchy-Kowalewski-Theorem münden sollen. Letztere spielen eine entscheidende Rolle in der Definition einer neuen Art von Fouriertransformation, die auf beliebige (nicht notwendig temperierte) verallgemeinerte glatte Funktionen anwendbar sein soll. Darüber hinaus wollen wir die Methode der Charakteristiken verallgemeinern, eine hyperfinite Picard-Lindelöf Theorem für partielle Differentialgleichungen erster Ordnung entwickeln und Operatoren studieren, die durch hyperfinite Methoden definiert sind. Dieses Projekt ist eingebettet in die internationale Forschung zur Modellierung singulärer Fragestellungen in Wissenschaft und Technik.

Das Hauptziel dieses Projektes war es die Entwicklung hyperfiniter Methoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen im Rahmen der Theorie der verallgemeinerten glatten Funktionen. Diese Theorie ist eine Erweiterung der Colombeau'schen Theorie verallgemeinerter Funktionen, die allgemeinere Definitionsbereiche zulässt und dadurch die uneingeschränkte Verknüpfung von verallgemeinerten Funktionen erlaubt, sowie ein besseres Verhalten auf unendlichen Mengen. Unter hyperendlichen Methoden verstehen wir dabei die Verwendung von unendlich großen ganzzahligen Colombeau-Zahlen, sowie von abgeschlossenen Intervallen mit unendlichen Randpunkten. Erstere wurde verwendet zur Konstruktion verallgemeinerter Potenzreihen verwenden, was schließlich in einem allgemeinen Cauchy-Kowalewski-Theorem münden sollen. Letzteres wurde verwendet, um eine Fourier-Transformation zu definieren, die auf beliebige (nicht notwendig temperierte) verallgemeinerte glatte Funktionen anwendbar sein. Wir haben auch die Methode der Charakteristiken verallgemeinern, und ein Picard-Lindelöf Theorem für partielle Differentialgleichungen studieren. Dieses Projekt ist eingebettet in die internationale Forschung zur Modellierung singulärer Fragestellungen in Wissenschaft und Technik.