Axiomatische Metatheorie: Freges Neue Wissenschaft

David Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899) wird von Philosophen, Mathematikern und Logikern als Meilenstein in der Geschichte der modernen Logik und Mathematik betrachtet. Hilbert präsentiert in seiner Festschrift nicht nur eine moderne Axiomatisierung der Euklidi- schen Geometrie, sondern beschäftigt sich erstmals auch auf systematische Weise mit metatheo- retischen Fragen, insbesondere der Konsistenz und Unabhängigkeit der Axiome. Neben dem systematischen Gebrauch von Reinterpretationen für Konsistenz- und Unabhängigkeitsbeweise, entwickelt Hilbert auch ein neuartiges Verständnis mathematischer Theorien, das prägend für die moderne Auffassung von Logik und Mathematik war. Gottlob Frege, eine weitere zentrale Figur in der Entwicklung der modernen mathematischen Logik, reagiert auf Hilberts Neuerun- gen mit fast vollständiger Ablehnung. In einer Reihe von Schriften kritisiert er grundlegende Aspekte von Hilberts Methodik und dessen Verständnis mathematischer Theorien und der axi- omatischen Methode. Hilbert galt lange Zeit als Gewinner dieser sogenannten Frege-Hilbert Kontroverse. Freges Kritikpunkte wurden zum größten Teil als Spitzfindigkeiten abgetan und sein traditionelles Axiomatikverständnis als veraltet angesehen. Wenig Beachtung fand bis vor kurzem auch ein interessanter Vorschlag von Frege selbst, wie Unabhängigkeitsbeweise korrekt zu führen seien. Freges Vorschlag ist zugleich radikal und verwirrend: Frege meint, um die Un- abhängigkeit von Axiomen im traditionellen Sinn rigoros zu beweisen, bedürfe es einer voll- kommen neuen Wissenschaft. Obwohl einige Aspekte in der Sekundärliteratur besprochen wur- den, gibt es bisher noch keine systematische Analyse dieser Neuen Wissenschaft. Das Hauptziel dieses Projektes besteht darin, diese Lücke zu schließen und so eine Analyse bereitzustellen. Im Besonderen versucht das Projekt zu klären (1) was Frege dazu gebracht hat eine Neue Wissen- schaft überhaupt einführen zu wollen, (2) wie diese Neue Wissenschaft im Detail aussieht und in welchem Verhältnis sie zu Begriffen und Methoden der (vor-)modernen Logik steht, und (3) wie Freges Vorschlag in seiner Philosophie der Logik und Mathematik zu verorten ist und wel- che Implikationen er für die Kontroverse über seine Ansichten zu metatheoretischen Untersu- chungen hat. Das in diesem Projekt verfolgte Forschungsvorhaben wird nicht nur unser Ver- ständnis der Philosophie der Logik und Mathematik einer der zentralen Figuren in der Entwick- lung der modernen Logik entscheidend beeinflussen und damit unser Verständnis der Geschich- te der modernen Logik und Mathematik fördern, sondern auch, aus einer Fregeschen Perspek- tive, in verschiedenen Bereichen Beiträge zu gegenwärtigen Debatten leisten.

David Hilberts "Grundlagen der Geometrie" werden aufgrund ihres neuartigen Zugangs zur axiomatischen Methode und ihres Fokus auf metatheoretische Fragen wie Konsistenz und Unabhängigkeit der Axiome weithin als Gründungsdokument der modernen Mathematik angesehen. Unmittelbar nach der Veröffentlichung des Buches im Jahr 1899 entspann sich eine heftige Debatte über diese Fragen zwischen Hilbert und dem Begründer der modernen Logik, Gottlob Frege. In einer Reihe von Artikeln, die zwischen 1903 und 1906 veröffentlicht wurden, unterzieht Frege Hilberts Ansichten einer gründlichen Kritik und präsentiert seine eigenen Ideen zu diesen Fragen. Das vorrangige Ziel dieses Projekts bestand darin, diese Ideen sowohl historisch als auch systematisch zu untersuchen. Auf der historischen Seite hat sich die Forschung im Rahmen des Projekts darauf konzentriert Freges Ideen besser zu verstehen, indem sowohl Freges historischer Kontext als auch sein eigener Hintergrund als Geometer in Betracht gezogen wurden. Obwohl sich in diesem Bereich in letzter Zeit manches getan hat, hat sich herausgestellt, dass es immer noch große Lücken in der Forschung gibt. Im Rahmen der Arbeit am Projekt konnten einige dieser Lücken geschlossen werden, indem einerseits Freges frühe mathematische Arbeiten zur Geometrie untersucht wurden, andererseits auch zentrale Entwicklungen in der Geometrie des 19. Jahrhunderts mit einbezogen wurden. In mehreren Artikeln, die in erstklassigen Zeitschriften veröffentlicht wurden, wurde dadurch nicht nur das Verständnis von Freges Ansichten vorangetrieben, sondern allgemein auch das Verständnis der Entwicklung der Geometrie des 19. Jahrhunderts und ihres Einflusses auf die Entwicklung der modernen Mathematik und Logik. Auf der systematischen Seite hat sich die Forschung darauf konzentriert, zentrale Aspekte von Freges Vorschlag im Zusammenhang mit seiner Debatte mit Hilbert formal zu rekonstruieren. Zwei Resultate sind besonders hervorzuheben. Erstens konnte eine formale Rekonstruktion von Freges zentralem, aber schwer zu fassendem, Begriff des "Sinns" entwickelt werden, die auch unabhängig von Frege interessant für verschiedene Fragen in der gegenwärtigen formalen Semantik ist. Zweitens konnte, basierend auf einer bekannten Frege-Interpretationen von Patricia Blanchette, eine formale Rekonstruktion von Freges Beweisbarkeitsbegriffs entwickelt werden, die die Möglichkeit der begrifflichen Analyse in die Charakterisierung des Beweisbarkeitsbegriff miteinbezieht und die ebenfalls von allgemeinem Interesse für die Epistemologie der Mathematik ist. Die Forschung in letzterem Bereich hat außerdem zu weiteren historischen und systematischen Fragen zum Verhältnis von informeller und formaler Beweisbarkeit in der Mathematik geführt, sowohl im Zusammenhang mit Frege als auch in einem allgemeineren Rahmen. Ein weiterführendes Projekt zu diesem Thema befindet sich gegenwärtig in Entwicklung.