Dimer Algebren auf Flächen

Dieses Projekt untersucht das Zusammenspiel zwischen geometrischen Objekten wie Kurven auf Flächen und Kategorien von Darstellungen. Hauptfokus des Projekts ist die Entwicklung einer allgemeinen Theorie von Flächen, die ihre geometrischen Eigenschaften mit einbezieht. Das Projekt wird einen neuartigen kombinatorischen Zugang zur Modulkategorien liefern und neue algebraische Zugänge zu wichtigen Problemen der Geometrie der Ebene/von Flächen liefern. Im Zentrum von mathematischen Modellierungen steht die Darstellungstheorie, die ihrerseits auf Pfad-Algebren aufgebaut ist. Solche Algebren werden ausgehend von orientierten Graphen (Köchern) definiert, den sogenannten Dimer-Modellen. Ein Dimer-Modell ist ein orientierter Graph, der auf einer Fläche so gezeichnet werden kann, dass sich keine zwei Kanten schneiden. Das Komplement dieses Graphs ist eine Vereinigung von Kreisscheiben. Dem Dimer-Modell kann man eine Algebra assoziieren, die Dimer-Algebra. Die Menge aller Pfade im Dimer-Modell liefern eine Basis für die Algebra. Betrachten wir nur Pfade zwischen Punkten auf dem Rand, so erhalten wir die zugehörige Rand-Algebra. Rand-Algebren dienen als kombinatorischer Zugang zu Cluster Kategorien. Hauptziel des Projekts ist, die Dimer-Algebren und ihre Rand-Algebren zu studieren. Wichtig dabei sind die folgenden 5 Zwischenetappen: (1) Bestimmung von Rand-Algebren für Flächen mit Löchern, mit mehreren Rand-komponenten und von höherem Geschlecht. (2) Untersuchung von Modulkategorien von Rand-Algebren sowie der homologischen Eigenschaften von Algebren mit unendlicher globaler Dimension. (3) Bestimmung von Rand-Algebren von Unendlich-Ecks und für Flächen mit asymptotischen Kurven. (4) Untersuchung von Dimer-Algebren von rhombischen Täfelungen und ihres Austauschgraphs unter der Yang-Baxter-Bewegung. (5) Bestimmung des Zusammenspiels zwischen nicht-kommutativen Auflösungen, nicht noetherscher Geometrie und homologischen Eigenschaften von Dimer-Algebren auf Flächen.

Cluster Algebren wurden vor 20 Jahren entdeckt, im Zusammenhang mit gewissen Folgen von ganzen Zahlen, die aussergewöhnliche Eigenschaften haben und bemerkenswerte Verallgemeinerungen des Satzes von Pythagoras ergeben. So etwa die Folge von Brüchen s_1,s_2,s_3, die rekursiv definiert wird durch die Gleichung s_{n-1}s_{n+1} = s_n+1 oder s_{n+1}=(s_n+1)/s_{n-1}. Starten wir mit den konkreten Zahlen s_1=s_2=1, so ist die Folge 1,1,2,3,2,1,1,2,3,2,1, Überraschenderweise ist diese Folge periodisch (die Einträge wiederholen sich nach 5 Schritten) und besteht nur aus ganzen Zahlen, obwohl in der Definition Brüche auftauchen. Dies ist die sogenannte Pentagon recurrence und mit Hilfe von Cluster Algebren kann man beweisen, dass diese und ähnliche Folgen nur ganze Zahlen liefern und bestimmen, wann sie periodisch sind. Cluster Algebren verallgemeinern auch den Satz von Ptolemäus: Wir betrachten ein Viereck dessen Ecken a,b,c,d alle auf einem Kreis liegen. Wir schreiben ab für die Länge der Seite und ac für die Länge der Diagonale zwischen den Ecken. Ptolemäus hat beweisen, dass immer die Beziehung ac x bd = ab x cd + ad x bc gilt. Ist das Viereck ein Rechteck, so ergibt sich der Satz von Pythagoras! Cluster Algebren verallgemeinern dies: sie erlauben Vierecke und ihre Diagonalen auf Flächen wie Kreisscheiben, (Oberflächen von) Zylindern und Donuts, Donuts mit mehreren Löchern, etc. In unserem Projekt haben wir strukturelle Eigenschaften entdeckt von gewissen geometrischen Räumen (sogenannte Grassmann'sche Räume) entdeckt, im Zusammenhang von Cluster Algebren und zugehörigen Kategorien. Eine "Dimer Algebra" ist ein mathematisches Objekt, das entsteht, indem man eine Fläche mit Vielecken pflastert und die Vielecke alle durchgängig orientiert. Die Kanten heissen dann Pfeile. Diese Objekte kommen aus der String Theorie (um 2005) und werden als Modelle benutzt für die Geometrie der 6 winzig kleinen Dimensionen der Raumzeit. Dimer Algebren spielen heutzutage eine wichtige Rolle in Cluster Algebren. Im Projekt haben wir viele ihrer Eigenschaften entdeckt und es gelang uns, sie auf beliebige Flächen zu verallgemeinern. Dazu benutzten wir spezielle Geometrien, wie in M.C. Escher "Sphäre mit Engeln und Teufeln". Insbesondere haben wir einige interessante Strukturen gefunden in der assoziierten Darstellungstheorie.