CCC Creatures und Kardinalcharacteristica

In der Mathematik werden viele verschiedene Begriffe der Keinheit von Mengen reeller Zahlen verwendet. Wichtige Beispiele sind Lebesgue Nullmengen und magere Mengen. Es ist leicht zu sehen dass die Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen wieder Null ist, und dasselbe gilt (im Wesentlichen per Definition) auch für magere Mengen. Andrerseits gibt es eine Familie der Größe Kontinuum die aus Nullmengen (die auch mager sind) besteht, und deren Vereinigung ganz R ist, zum Beispiel die Familie der einelementigen Teilmengen von R. Die Kontinuumshypothese (CH) besagt dass jede unendliche Teilmenge der reellen Zahlen entweder abzählbar ist oder die Größe Kontinuum hat. CH ist weder beweisbar noch widerlegbar (in der üblichen Axiomatisierung der Mathematik, ZFC). Wenn wir davon ausgehen dass CH nicht gilt, dann ist folgende Frage naheliegend: Was ist die minimale Größe einer Familie von Nullmengen, deren Vereinigung nicht Null ist? Diese Größe nennt man die Additivität des Nullideals, add(N). Es ist ein Beispiel einer Kardinalzahlcharakteristik. Andere Beispiele sind non(N), die kleinste Größe einer nicht- Nullmengen; cov(N), die minimale Größe einer Familie von Nullmengen, deren Vereinigung ganz R ist; und cof(N), minimale Größe einer Familie von Nullmengen, so dass jede Nullmenge Teilmenge eines Elements der Familie ist. Analoge Größen kann man für das ideal der mageren Mengen definieren, insgedamt bekommt man so acht Kardinalzahlencharakteristika, die im sogenannten Cichon-Diagramm zusammengefasst werden. Zwischen manchen dieser Charakteristika lassen sich Ungleichungen beweisen. Zum Beispiel ist add(N) kleiner gleich add(M) (und kann konsistenterweise echt kleiner sein). Für jedes Paar (x,y) von Einträgen in Cichons Diagramm wurde entweder bewiesen dass x kleiner gleich y ist, oder gezeigt dass x konsistenterweise kleiner als y sein kann. Für eine Folge von mehr als zwei Einträgen wird diese Frage schwieriger. Im beantragten Projekt wollen wir ein Modell konstruieren in dem alle Einträge des Cichon-Diagramm paarweise verschiedene Werte haben.

Im Rahmen des FWF Projekts gelang es, die Konsistenz von Cichon's Maximum zu beweisen: Es ist möglich, dass die zehn unendlichen Kardinalitäten die in Cichon's Diagramm dargestellt sind alle verschieden sind. In der Mathematik kann man den Begriff "unendlich" präzise definieren, und man kann für zwei unendliche Mengen definieren was es heißt dass eine Menge größer ist als die andere. Es stellt sich heraus dass die Menge der natürlichen Zahlen die kleinstmögliche unendliche Größe hat (ebenso die Menge der rationalen Zahlen), und dass die Menge der reellen Zahlen größer ist. Die Kontinuumshypothese besagt dass es keine Unendlichkeiten gibt die zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen liegt. Gödel und Cohen haben gezeigt dass die Kontinuumshypothese weder beweisbar noch widerlegbar ist. Im Cichon Diagramm werden 12 mathematisch wichtige Definitionen von unendlichen Größen dargestellt (nur 10 davon "unabhängig"). All diese Größen sind größer als die natürlichen Zahlen, aber höchstens so groß wie die reellen. Unter der Kontinuumshypothese sind sie also alle gleich. Es war schon länger bekannt dass keine zwei Einträge im Diagramm beweisbar gleich sind; das neue Resultat zeigt nun dass sie sogar alle gleichzeitig verschieden sein können. Dieses Resultat ist in den Annals of Mathematics erschienen und wurde in diversen Medienberichten und populärwissenschaftlichen Zeitschriften beschrieben (darunter Spektrum der Wissenschaft bzw. Scientific American).