Ordnung und Typ kanonischer Systeme

Kanonische Systeme sind Differentialgleichungen gewisser Gestalt, die häufig in Naturwissenschaften auftreten. Zum Beispiel in der hamiltonschen Mechanik, wo sie die Bewegung eines Teilchens unter dem Einfluss eines zeitabhängigen Potentials modellieren. Ein kanonisches System ist durch eine lokal integrierbare Funktion - ihren Hamiltonian gegeben. Mehrere Typen skalarer Gleichungen zweiter Ordnung können als zweidimensionales kanonisches System geschrieben werden, unter anderem Schrödinger Gleichungen, Krein-Feller Operatoren oder Jacobi Operatoren. Mit einem zweidimensionalen kanonischen System assoziiert man eine Kette von Hilberträumen ganzer Funktionen mit reproduzierenden Kern, seine de Branges Kette. Diese ist von herausragender Bedeutung in der Spektraltheorie kanonischer Systeme. Beispielsweise ist sie Grundlage für den inversen Spektralsatz, der besagt, dass der Hamiltonian durch die Spektralfunktion des Systems im Wesentlichen eindeutig bestimmt ist. Da die Elemente der de Branges Räume ganze Funktionen sind, stellt sich die Aufgabe, das Wachstum (insbesondere Ordnung und Typ) dieser Funktionen mit Eigenschaften des Hamiltonian H des Systems in Verbindung zu bringen. Ein klassisches Ergebnis ist die Krein-de Branges Formel, die den maximalen Exponentialyp als Integral von der Wurzel der Determinante von H berechnet. Mithilfe dieser Formel kann im Grenzkreisfall (in dem das Spektrum jedenfalls diskret ist) die Asymptotik des Spektrums, und im Grenzpunktfall der Typ des Spektralmaßes bestimmt werden. Es gibt eine Vielzahl von Beispielen in denen die Determinante von H identisch verschwindet. Für solche Systeme gibt die Krein-de Branges Formel keine signifikante Information mehr. Zum Beispiel (man denke an den Grenzkreisfall) kann nicht unterschieden werden, ob das Spektrum asymptotisch wie n3 oder en wächst; im ersten Fall wäre die Ordnung 1/3, im zweiten 0. Dieses Projekt zielt darauf ab, Beziehungen zwischen dem Hamiltonian und dem Wachstum der Funktionen in der de Branges Kette zu etablieren, wenn die Ordnung kleiner als 1 ist. Diese Beziehungen sollen ausgenutzt werden, um konkrete Spektralprobleme in der Wahrscheinlichkeits- oder Zahlentheorie zu studieren. Im Kontext von direkten Spektralproblemen interessieren wir uns für die Asymptotik des Spektrums. Im Kontext von inversen Spektralproblemen werden wir uns auf die Ordnung eines Maßes konzentrieren, die wir als Verallgemeinerung des Typs eines Maßes für Ordnungen kleiner als 1 einführen. Dabei werden Methoden verschiedener Gebiete eine Rolle spielen: klassische Funktionentheorie (Wachstum vs. Nullstellenverteilung, Abschätzungen kanonischer Produkte), Differentialoperatoren (Wachstumsabschätzungen für Lösungen, Levinson-Sätze), Operatortheorie (Hilberträume mit reproduzierendem Kern, ganze Operatoren, Räume mit indefiniten inneren Produkt). Dieser Antrag ist unmittelbare Fortsetzung des Joint projects The Order Problem for Canonical Systems, FWF (I-1536-N25) und RFBR (13-01-91002-ANF).

Kanonische Systeme sind Differentialgleichungen gewisser Gestalt, die häufig in Naturwissenschaften auftreten. Zum Beispiel in der hamiltonschen Mechanik, wo sie die Bewegung eines Teilchens unter dem Einfluss eines zeitabhängigen Potentials modellieren. Ein kanonisches System ist durch eine lokal integrierbare Funktion - ihren Hamiltonian - gegeben. Mehrere Typen skalarer Gleichungen zweiter Ordnung können als zweidimensionales kanonisches System geschrieben werden, unter anderem Schrödinger Gleichungen, Krein-Feller Operatoren oder Jacobi Operatoren. Mit einem kanonischen System sind mehrer Objekte assoziiert: eine Kette von de Branges Räumen ganzer Funktionen und von Monodromiematrizen, und der Weyl Koeffizient des Systems. Das Spektrum des hinter der Gleichung stehenden Differentialoperators kann im Grenzkreisfall von der Monodromiematrix abgelesen werden, und im Grenzpunktfall vom Weyl Koeffizienten. Unser Ziel ist es den Fall diskreten Spektrums vollständig zu verstehen. In diesem Fall ist es sinnvoll nach der Asymptotik oder Dichte der Eigenwerte zu fragen. Ein klassisches Ergebnis ist die Krein-de Branges Formel, die den maximalen Exponentialyp als Integral von der Wurzel der Determinante von H berechnet. Mithilfe dieser Formel kann die Asymptotik der Eigenwerte im Vergleich zur Wachstumsfunktion r bestimmt werden (im Grenzkreisfall und wenn die Determinante nicht identisch verschwindet). Unsere wichtigsten Ergebnisse sind: (1) Eine Charakterisierung der Diskretheit des Spektrums. (2) Charakterisierungen endlicher Dichte des Spektrums, gemessen anhand von Summierbarkeit oder Beschränktheit gemessen an Gewichtsfunktionen die schneller als r wachsen. (3) Ein detailliertes Studium des asymptotischen Verhaltens des Weyl Koeffizienten, welches zu Charakterisierungen gewichteter Integrierbarkeit des Spektralmaßes führt, und zu Charakterisierungen oben genannter Eigenschaften für Gewichtsfunktionen die langsamer als r wachsen führen wird. Dabei spielen Methoden verschiedener Gebiete eine Rolle spielen: klassische Funktionentheorie (Wachstum vs. Nullstellenverteilung, Abschätzungen kanonischer Produkte), Differentialoperatoren (Wachstumsabschätzungen für Lösungen, Levinson-Sätze), Operatortheorie (Hilberträume mit reproduzierendem Kern, ganze Operatoren, Räume mit indefiniten inneren Produkt).