Non-Standard Methoden für Ramseytheorie

Es ist kein Zufall, dass Methoden, welche auf der Verwendung von infinitesimalen oder unendlichen Größen beruhen, oft als nicht-archimedisch bezeichnet werden. Ebendieser geniale griechische Mathematiker verwendete nämlich in seinem Werk Die Methode solche Größen um den Flächeninhalt und das Volumen vieler geometrischer Figuren zu berechnen. Ende des 17. Jahrhunderts waren infinitesimale Elemente auch eines der entscheidenden Konzepte bei der Entdeckung der Differential- und Integralsrechnung durch Leibniz. Danach jedoch verschwanden nicht-archimedische Methoden für fast zwei Jahrhunderte beinahe völlig aus der Mathematik (mit einigen nennenswerten Ausnahmen wie Du Bois-Reymond, Hilbert und Levi Civita), was hauptsächlich auf Schwierigkeiten bei der formalen Axiomatisierung dieser Ideen zurückzuführen ist. Dies änderte sich 1966, als Robinson jene Probleme lösen konnte und in weiterer Folge die Nichtstandardanalysis begründete. Seither haben nicht-archimedische Methoden in der Mathematik wieder an Bedeutung gewonnen und in vielen Fällen spielte bei dieser Entwicklung die Nichstandardanalysis eine Schlüsselrolle. Völliges Chaos ist unmöglich ist eine einprägsame Zusammenfassung der Ziele der Ramsey Theorie: Resultate in diesem Forschungsfeld drücken üblicherweise aus, dass genügend große Mengen organisierte Strukturen enthalten müssen. Viele Probleme in der Mathematik, Logik und Informatik lassen sich auf diese Weise formulieren. Interessante und noch offene Probleme betreffen oft Strukturen, die auf nichtlineare Gleichungen zurückzuführen sind. Aufgrund einiger neuer Resultate ist das allgemeine Interesse der mathematischen Gemeinschaft an diesem Feld stark angestiegen; wir könnten kurz vor einem großen Durchbruch stehen. Das Hauptziel meines Projektes ist es, diesen bahnbrechenden Schritt mit einer Kombination von Standard und Nichtstandardtechniken zu erreichen.