Numerische Dynamik von Integro-Differenzengleichungen

Nicht nur in den Lebenswissenschaften haben sich Integro-Differenzengleichungen in den letzten Jahrzehnten zur Modellierung von Dispersions-Prozessen bewährt, die zwar in der Zeit diskret, im Raum aber kontinuierlich sind. Deren Verhalten wird von Anwendern häufig anhand numerischer Simulationen demonstriert. Das Ziel der beiden beantragten Projekte besteht darin, das Verhalten dieser unendlich- dimensionalen diskreten dynamischen Systeme unter räumlicher Approximation zu untersuchen und in Beziehung mit der realen Langzeit-Dynamik zu setzen - dies betrifft sowohl Konvergenz-, wie auch Persistenz-Eigenschaften. Damit werden die Resultate numerischer Simulationen verifiziert. Wir liefern damit nicht nur den ersten Beitrag zur numerischen Dynamik von Integro-Differenzengleichungen unter einer allgemeinen Klasse von Diskretisierungen, sondern bereichern auch das Gebiet nichtautonomer dynamischer Systeme in verschiedenen Aspekten: Die für vollständige Diskretisierungen von Integro-Differenzengleichungen spezifische Konvergenztheorie (kollektiv-kompakte Operatoren) wird in die numerische Dynamik eingeführt. Es werden explizit zeitabhängige (nichtautonome) Probleme betrachtet, was innovative Ansätze in der Stabilitäts- und Attraktortheorie bedingt. Wir entwickeln schließlich Methoden, die dynamische Eigenschaften unter numerischer Diskretisierung (Dissipativität, zentrale Mannigfaltigkeiten, Monotonie) bewahren sollen. Zusammenfassend sind die erwarteten Resultate grundlegend, um häufig anzutreffende numerische Simulationen zu validieren, und um a priori für spezifische Probleme maßgeschneiderte Verfahren zu wählen.

Integrodifferenzgleichungen sind erfolgreiche und beliebte Modelle in der theoretischen Ökologie, um das Wachstum und die Ausbreitung von Arten mit nicht überlappenden Generationen zu beschreiben. Weitere Anwendungen erlauben es, damit die Ausbreitung von Krankheiten und Infektionen in der Epidemiologie zu modellieren. Die Struktur von Integrodifferenzgleichungen erfordert jedoch, dass ihr Langzeitverhalten typischerweise durch Computersimulationen auf der Grundlage numerischer Diskretisierungen illustriert wird. In diesem Projekt, das an der Schnittstelle von Theorie dynamischer Systeme und numerischer Analyse angesiedelt ist, wurden rigorose mathematische Grundlagen dafür geschaffen, dass solche Simulationen das tatsächliche dynamische Verhalten widerspiegeln. Dies führte zu Leitlinien für Nichtmathematiker und simulierende Wissenschaftler, welche nicht nur die Art der zu verwendenden Diskretisierungsverfahren empfehlen, sondern auch deren Konvergenzverhalten spezifizieren und schließlich die beobachteten Simulationsergebnisse auf eine solide Grundlage stellen.