Resonante Wechselwirkungen von Wasser Wellen mit Vortizität

Dieses Projekt beschäftigt sich mit einem wichtigen Aspekt der Wasserwellenbewegung: resonante Wechselwirkung zwischen zwei oder mehreren Wellen, die eine neue bilden. Mathematisch ist dies äquivalent, ob die entsprechenden Wellenzahlen und Frequenzen richtig addieren. Das Phänomen der Resonanz ist von hoher Bedeutung in der Küstenschifffahrt, wo ist notwendig zu wissen, ob die Besonderheiten der darunterliegenden Strömung, wie das Vorhandensein von zugrunde liegenden Strömen, aus der Untersuchung der freien Oberfläche nachgewiesen werden können. Um das Auftreten von ungleichförmigen Strömen (wie oben erwähnt), die ein Markenzeichen von Gezeitenströmen sind, und Wellen- Wechselwirkungen zu beschreiben, muss man für Verwirbelungsbewegungen in der Flüssigkeit, erlauben. Die Verwirbelungsbewegungen werden durch die Vortizität-Funktion erfasst werden. Der Mangel an rigorosen mathematischen Untersuchungen über Resonanzen für Wasserwellen mit Wirbelverteilung ist ein Ergebnis der enormen Schwierigkeiten, die durch das Vorhandensein von wirbelnden Bewegungen entstehen. Früheren Studien über Drei-und Vier-Wellen-Resonanzen blieben bis vor kurzem weitgehend auf die Einstellung von irrotierenden Strömungen unendlicher Tiefe beschränkt und haben nicht die Möglichkeit betrachtet, zugrunde liegende ungleichförmige Ströme aufzunehmen. Der PI wird neue Aspekte betrachten, wie z. B. die realistischere Annahme der endlichen Tiefe und die Einbeziehung einer stückweise konstante Wirbelverteilung, die die Berücksichtigung von Wellen- Wechselwirkungen und Strömungsumkehr ermöglicht. Die Schwierigkeiten, die durch das Vorhandensein von der Wirbelverteilung entstehen, werden durch die Verfügbarkeit einer Variationsformulierung umgegangen, die das Schreiben der Flüssigkeitsbewegung in Form der "Wellenvariablen" erlaubt. Diese Formulierung wurde durch den PI -teilweise in Zusammenarbeit mit Mitarbeitern- auf Wasserströme von endlicher Tiefe mit einer stückweise konstanten Wirbelverteilung zu Stande gebracht. Mittels dieser Variationsformulierung wird auch das wichtige Aspekt der Entstehung von Instabilitäten. Zuerst wird den relativ einfacheren Fall von konstanter Vortizität behandelt und danach wird das Szenario der stückweisen konstanten Vortizität verarbeitet. Der PI wird die Resonanzproblematik auch für Wasserflüsse betrachten deren Ausbreitungsrichtung entgegengesetzt der Oberflächenwellen ist. Der PI wird in diesem Forschungsprojekt das Resonanzproblem berücksichtigen, indem die Art der auf die Flüssigkeit wirkenden Kräfte, die Schichtung und die Wirbelverteilung in Betracht gezogen werden. Für ein besseres Verständnis der Dynamik von Wasserwellen sind mehrere numerische Untersuchungen geplant.

Der Schwerpunkt des Projekts lag auf der Untersuchung resonanter Wechselwirkungen von Wasserwellen, die als freie Oberfläche von rotationellen Wasserströmungen entstehen. Die resonante Wechselwirkung ist der Prozess, bei dem zwei oder mehrere Wellen zusammenkommen um eine neue Welle zu bilden. Das ist ein Ereignis von größter Bedeutung angesichts der signifikanten Energieübertragung zwischen den Wellenzügen, die im Verlauf der Resonanz auftritt. In diesem Sinne könnten Dreiwellenresonanzen Monsterwellen in Bewegung setzen-- ozeanische Phänomene, von denen angenommen wird, dass sie die Ursache für eine Reihe von Katastrophen auf See waren. Die Untersuchung von Resonanzen beschränkte sich bis vor relativ kurzer Zeit weitgehend auf den Fall einer irrotationellen Strömung mit unendlicher Tiefe, d.h. einer Strömung, bei der Fluidelemente von einem Moment zum anderen keine Nettorotation vorzeigen. Es ist klar, dass das zuvor beschriebene Szenario viele vernünftige physikalische Ereignisse wie eine strömungsspezifische komplexe vertikale Struktur, die allgegenwärtigen Wellen-Strom-Wechselwirkungen in Ozeane und Meere oder die Strömungsumkehr, nicht umfasst. Unter Berücksichtigung der vorherigen Aspekte haben wir die Entstehung von Drei-Wellen-Resonanzen für kapillar schwerkraftbedingte Wasserwellen über rotationelle Wasserströme mit stückweise konstanter Verteilung der Wirbel nachgewiesen, eine Einstellung, die bilineare Scherströme beschreibt. Ausschlaggebend für dieses Bestreben (und ein Nebenprodukt des Projekts) war die Dispersionsrelation - eine Formel, die die relative Wellengeschwindigkeit in Bezug auf die physikalischen Parameter der Strömung liefert. Obwohl, in der Regel, die Dispersionsrelation für den obigen Strömungstyp eine verwickelte algebraische Gleichung ist, konnten wir explizite einfache Formeln in der Situation erhalten, in der das Verhältnis "Dicke der oberflächennahen Wirbelschicht / Wellenlänge der Oberflächenwelle" groß genug ist. Nach der Herstellung der Drei-Wellen-Resonanz, untersuchten wir die Dynamik der an der Resonanz beteiligten Wellenpakete. Genauer gesagt, unter Verwendung einer Variationsformulierung des Rotationswasserwellenproblems, haben wir Evolutionsgleichungen für die Hüllkurven der drei Wellen abgeleitet, die in den Resonanzprozess eintreten. Weitere Ergebnisse des Projekts betreffen die Ableitung expliziter und exakter Lösungen, die (aus der Sicht der rotierende Erde) Wasserströme bezeichnen, die eine azimutale Ausbreitungsrichtung und eine allgemeine kontinuierliche Dichte aufweisen. Diese Lösungen erfüllen die vollständigen nichtlinearen Wasserwellengleichungen, werden in sphärischen Koordinaten ausgedrückt, und beziehen sich auf die großflächige äquatoriale Ozeandynamik einer Strömung mit freier Oberfläche. Innerhalb derselben Kategorie geophysikalischer Wasserströme haben wir Charakterisierungen dreidimensionaler Wasserströme erhalten, die einen konstanten Wirbelvektor aufweisen. Die neuartigen Analysetechniken (aus partiellen Differentialgleichungen, dynamischen Systemen, Variationsrechnung), die zur Durchführung des Projekts entwickelt wurden, haben das Potenzial, bei der Bewältigung neuer Herausforderungen in der Strömungsdynamik anwendbar zu sein.