Approximative Glattheit in der Isogeometrischen Analysis

Seit ihrer Einführung, wurde Computer Aided Design (CAD) Software entwickelt um die Konstruktion technischer Objekte, die sich aus einfachen geometrischen Formen zusammensetzen, zu erleichtern. In technischen Anwendungen müssen die entwickelten Objekte gewisse erwünschte physikalische Eigenschaften aufweisen. Um nun Simulationen der zugrundeliegenden Physik durchführen zu können, muss die Information über das Objekt vom CAD System in ein anderes Software System übertragen werden. Dieser Informationstransfer führt meist zu Datenverlusten und ist oft zeitaufwendig und ineffizient. Im letzten Jahrzehnt war es das Ziel vieler Forschungsgruppen, CAD Systeme zu entwickeln, die zu solchen Simulationen fähig sind. Dazu bedarf es eines komplett neuen Ansatzes, der Isogeometrischen Analysis (IGA), welcher die CAD Software von einem einfachen Designwerkzeug zu einem voll integrierten Simulationsprogramm erweitert. Dieses Projekt mit dem Titel Approximative Glattheit in der Isogeometrischen Analysis befasst sich mit diesem neuen Ansatz. Es basiert auf Forschungsarbeiten am Institut für Angewandte Geometrie der JKU Linz. Mit diesem Projekt erweitern wir die Anwendbarkeit der IGA auf ein breites Feld verschiedener Anwendungen. Wir entwickeln Methoden, die robuster sind und eine höhere geometrische Flexibilität aufweisen als die Methoden, die derzeit in Verwendung sind. In der Zukunft können die neu entwickelten Methoden in CAD Systeme integriert werden und vereinfachen und beschleunigen somit den Design- und Entwicklungsprozess. Die gewonnenen Erkenntnisse haben Auswirkungen auf ein breites Feld an Forschungsbereichen, von biomedizinischen Anwendungen, zum Architektur-Design und der Entwicklung industrieller Bauteile. Die Methoden können dabei helfen, stabilere Bauteile zu konstruieren oder im medizinischen Bereich eingesetzt werden. Das Projekt wird innerhalb einer hervorragenden Forschungsgruppe an der JKU Linz in enger Kooperation mit dem Johann Radon Institute of Computational and Applied Mathematics (RICAM) der Österreichischen Akademie der Wissenschaften sowie der Universität Pavia in Italien durchgeführt. Außerdem werden im Rahmen des Projekts Open-Source-Software entwickelt und bestehende Pakete erweitert. Dadurch werden die entwickelten Methoden und gewonnenen Ergebnisse anderen Forschungsgruppen und Firmen zur Verfügung gestellt.

Computersimulationen sind in der angewandten Forschung von großer Bedeutung. In diesem Projekt befassten wir uns mit Simulationsmethoden für eine spezielle Klasse von Problemen, sogenannte partielle Differentialgleichungen. Solche Probleme treten bei der mathematischen Modellierung in vielen Anwendungsbereichen auf, z. B. in der Physik, Chemie, Biologie oder bei technischen Anwendungen. Konkret haben wir Methoden entwickelt, die auf CAD-Modellen (Computer Aided Design) basieren. In vielen Anwendungsbereichen wird CAD-Software verwendet, um Computermodelle von realen, physischen Objekten zu erstellen. In einem solchen CAD-Modell wird ein komplexes Objekt aus einfachen geometrischen Formen zusammengesetzt. In vielen Anwendungen stellt sich die Frage, welche physikalischen Eigenschaften die untersuchten Objekte haben. Um Simulationen der zugrundeliegenden physikalischen Prozesse durchführen zu können, müssen die geometrischen Informationen über das Objekt vom CAD-System in ein anderes Softwaresystem übertragen werden. Dieser Informationstransfer führt in der Regel zu Datenverlusten und ist oft zeitaufwendig und ineffizient. In diesem Projekt mit dem Titel "Schwache Glattheit in der Isogeometrischen Analysis" wurden neue Methoden zur Erzeugung von CAD-Modellen sowie geeignete Simulationsverfahren entwickelt. So wurden Methoden entwickelt, die robust sind und eine hohe geometrische Flexibilität aufweisen. Die Grundidee des Projekts war es, die Anforderungen an die Glattheit der geometrischen Darstellung zu reduzieren. Anstatt geometrische Modelle zu erzeugen, deren Oberfläche perfekt glatt ist, erlauben die in diesem Projekt entwickelten Methoden gewisse Toleranzen, die in vielen Anwendungen vernachlässigbar sind oder mit zunehmender Simulationsgenauigkeit verschwinden. Somit können die IGA-Simulationsmethoden auf eine Vielzahl unterschiedlicher Anwendungen ausgeweitet werden. In Zukunft können die neu entwickelten Methoden in CAD-Systeme integriert werden, um den Design- und Entwicklungsprozess zu vereinfachen und zu beschleunigen. Die Forschungsarbeit wurde am Institut für Angewandte Geometrie der JKU Linz durchgeführt, in Kooperation mit Forscher*innen des Johann Radon Institute of Computational and Applied Mathematics (RICAM) der Österreichischen Akademie der Wissenschaften, der Universität Pavia, der FH Kärnten, der TU Delft und der Universität Ljubljana. Außerdem wurde im Rahmen des Projekts Open-Source-Software entwickelt. Die gewonnenen Erkenntnisse haben Auswirkungen auf ein breites Spektrum von Forschungsbereichen, von biomedizinischen Anwendungen über Architekturdesign bis hin zur Entwicklung von Industriekomponenten. Die Methoden können beispielsweise dazu beitragen, stabilere oder leichtere Bauteile zu entwerfen.