Bentfunktionen und Verallgemeinerungen, und APN-Funktionen

Bentfunktionen und damit verwandte Funktionen wie perfekt nichtlineare Funktionen, planare Funktionen, Negabentfunktionen, und APN-Funktionen haben zahlreiche Anwendungen in der Kryptograpie und Kodierungstheorie und reichhaltige Verbindungen zu anderen Gebieten (und Objekten) in der Mathematik, wie Kombinatorik (Differenzenmengen) oder endliche Geometrie (projektive Ebenen). Boole`sche Bentfunktionen haben höchstmögliche Nichtlinearität, APN- Funktionen optimale differenzielle Eigenschaften, beides wichtige Kriterien in Anwendungen in der Kryptographie. Dementsprechend kann man steigendes Interesse an diesem Gebiet beobachten, zahlreiche Forschergruppen beschäftigen sich intensiv mit diesen Klassen von Funktionen, was sich wiederum in vielen Vorträgen an Tagungen und einer großen Anzahl von Artikeln in Fachzeitschriften zu diesem Themenbereich wiederspiegelt. Mit diesem Projekt soll dieser Themenbereich an einer österreichischen Institution weiter etabliert werden. Neben dem Antragsteller wird über das Projekt auch die junge Wissenschatlerin N. Anbar angestellt, mit dem Ziel sie für die Bewerbung auf Professuren zu qualifizieren. Durch die reichhaltigen Verbindungen zu anderen Gebieten und Objekten der Mathematik, spielen neben der Analyse von Charaktersummen auch Methoden aus der Kombinatorik, der endlichen Geometrie und der algebraischen Zahlentheorie eine Rolle. Besonders wesentlich in der Analyse von APN und verwandter Funktionen werden Methoden aus dem Gebiet der Kurven über endlichen Körpern sein, welche bereits erfolgreich auf diesem Gebiet angewandt wurden. Mit diesen Anwendungen in der Analyse von APN-Funktionen soll auch die Grundlagenforschung auf diesem Gebiet vorangetrieben werden. Einige konkrete Fragestellungen die in diesem Projekt behandelt werden sollen sind - die Analyse der Normalität von p-ären Bentfunktionen, und die Analyse von Bentfunktionen die quadratisch auf den Elementen eines spreads sind; - die Analyse der Äquivalenz von (vektoriellen) Negabentfunktionen und von deren Differenzenmengen; - die Analyse verallgemeinerter Bentfunktionen in zyklischen Gruppen, und deren differenzielle Eigenschaften; - Die Konstruktion von stark regulären Graphen von vektoriellen Bentfunktionen; - Die Konstruktion von APN-Funktionen und von Funktionen mit guten differentiellen Eigenschaften, und deren Analyse mittels Kurven über endlichen Körpern. Interessante Fragestellungen auf dem Gebiet der Kurven über endlichen Körpern sind - die Konstruktion neuer Familien von Kurven mit vielen rationalen Punkten; - die Analyse des asymptotischen Verhaltens derer p-Torsionspunkte; - die Konstruktion von Gittern mittels Kurven mit speziellen Eigenschaften.

I.1. Zusammenfassung (Vektorielle) Bentfunktionen, APN Funktionen, und ähnliche Funktionen haben Anwendungen in Kryptographie und Kodierungstheorie, und werden auch intensiv untersucht wegen Verbindungen zu Objekten aus der Kombinatorik und der endlichen Geometrie, wie Differenzenmengen, Designs, stark regulären Graphen. In diesem Projekt wurde untersucht, welche Bentfunktionen Komponenten vektorieller Bentfunktionen sind. Man bemerke, dass die Existenz von einsamen Bentfunktionen f, d.h. f ist nicht Komponente einer vektoriellen Bentfunktion, noch nicht nachgewiesen werden konnte. In diesem Projekt wurden die ersten Konstruktionen von vektoriellen Bentfunktionen mit nicht schwach regulären (jedoch mit bent dualen) Komponenten, und mit nicht-bent dualen Komponenten vorgestellt. Kodierungs-theoretische Kriterien für (nicht) einsame Bentfunktionen wurden erhalten. Quadrupelsysteme, genannt vanishing flats, für vektorielle Boolesche Funktionen wurden detailliert analysiert. Als Anwendung, wurden ein Design-theoretisches Kriterium für (nicht) einsame Bentfunktionen, und vollkommen schiefe Überdeckungen von n-dimensionalen Vektorräumen gefunden. Als weiteres Highlight, wurde eine obere Schranke für die Nichtlinearität für plateaute vektorielle Boolesche Funktionen in Dimension n=2m, mit der maximal möglichen Anzahl 2^n-2^m von Bentfunktionen als Komponenten bewiesen. Eine Klasse von Funktionen, in welcher manche Funktionen diese Schranke erreichen, wurde im Detail untersucht. Ferner wurden weitere Verbindungen zwischen vektoriellen Bentfunktionen und stark regulären Graphen gefunden. Verallgemeinerte Bentfunktionen, eine Oberklasse der Bentfunktionen die in die zyklische Gruppe der Ordnung 2^k abbilden, kann man als Kombination einer Booleschen Bentfunktion mit einer zugehörigen Partition von \F_2^n mit bestimmten Eigenschaften interpretieren. In diesem Projekt wurde gezeigt, dass Maiorana-McFarland (MMF) Bentfunktionen die grösstmögliche solche Partition besitzen. Bislang kannte man nur eine Konstruktion, via Spreads, von Bentfunktionen, welche in die zyklische Gruppe der Ordnung 2^k, k > 2$, abbilden. Die Existenz weiterer solcher Funktionen war nicht bekannt. Innerhalb des Projekts wurden Konstruktionen vorgestellt, die nachweislich nicht von Spreads kommen. Zur Bestimmung der Nichtlinearität einer neuen, 2019 von Taniguchi vorgestellten APN Funktion, wurde eine neue Methode entwickelt, die auf mehrere Klassen von quadratischen Funktionen anwendbar ist. Mit dieser Methode wurden auch kurze Beweise für die Nichtlinearität anderer Funktionen gefunden. Innerhalb des Projekts wurden 12 Artikel in namhafte Zeitschriften eingereicht (8 bereits erschienen, 4 noch im Beurteilungsprozess). Etliche der Resultate wurden auf internationalen Konferenzen und Seminarvorträgen präsentiert.