Schnelle Löser für Isogeometric Analysis

Isogeometric Analysis wurde im Jahr 2005 als neue Methode zur Bestimmung von Näherungslösungen von partiellen Differentialgleichungen vorgeschlagen und kann als eine Variante oder eine Weiterentwicklung der Finiten Elemente Methode gesehen werden. Partielle Differentialgleichungen treten in vielen Bereichen auf, insbesondere auch in der Technik und in den Naturwissenschaften. Beispiele für Differentialgleichungen sind die als Poisson-Gleichung bekannte Wärmeleitungsgleichung oder die Stokes-Gleichungen aus der Strömungsmechanik, die die Strömung einer Flüssigkeit oder eines Gases beschreiben. Isogeometric Analysis wurde ursprünglich eingeführt, um die Lösungen von Differentialgleichungen direkt auf den aus einer Konstruktionssoftware (CAD-System) entnommenen Beschreibungen der jeweiligen Objekte berechnen zu können, ohne diese in ein Gitter aus Dreiecken oder Tetraedern zerlegen zu müssen, wie dies in der klassischen Finiten Elemente Methode geschieht. Es zeigte sich aber auch, dass die glatteren Spline-Funktionen, die in Isogeometric Analysis verwendet werden, das Lösung besser annähern können, als die stückweise linearen Funktionen der klassischen Finiten Elemente. Das Hauptinteresse des Antragstellers gilt Lösungsverfahren, mit denen die durch eine isogeometrische Diskretisierung erhaltenen linearen Gleichungssysteme effizient aufgelöst werden können. Zieht man die von der Finiten Elemente Methode bekannten Lösungsverfahren heran, ohne sie entsprechend anzupassen, so erhält man typischerweise Methoden, die zwar im Prinzip funktionieren, jedoch deutlich weniger effizient sind, als im Bereich der Finiten Elemente. Erhöht man den Grad der Splines, verstärkt sich dieser Effekt, wodurch die Vorteile von Isogeometric Analysis zunichte gemacht werden. Der Antragsteller hat mit seinen Kollegen gezeigt, dass es möglich ist, das bekannte Mehrgitterverfahren so zu modifizieren, dass sie für alle möglichen Splinegrade ausgezeichnet funktionieren. Bisher wurden solche Überlegungen hauptsächlich für die Poisson-Gleichung angestellt, die als die einfachste partielle Differentialgleichung gilt. Für praktische Anwendungen ist es natürlich von Interesse, auch andere, anspruchsvollere partielle Differentialgleichungen zu lösen. Dies soll im Projekt mit einem Fokus auf die Stokes-Gleichungen geschehen. Dabei sollen zuerst einfache geometrische Objekte behandelt werden, die mit einer einzigen Geometriefunktion beschrieben werden können. In einem zweiten Schritt sollen die Methoden dann auf Fälle erweitert werden, in denen das Gesamtobjekt in Teilobjekte (etwa eine Turbine in ihre einzelnen Schaufeln) zerlegt wird, die jeweils durch eine eigene Geometriefunktion beschrieben werden. Für diesen Fall besteht der Bedarf nach neuen Lösungsverfahren nicht nur für die Stokes Gleichungen, sondern auch für die Poisson Gleichung. Mit den neu entwickelten Methoden wird es möglich sein, die auftretenden linearen Gleichungssysteme effizient zu lösen. Dies macht es nicht nur möglich, schneller zur Lösung zu kommen, sondern auch Problemstellungen auf komplexeren geometrischen Objekten oder durch eine stärkere Verfeinerung genauer lösen zu können.

Simulationsrechnungen werden verwendet, um etwa Spannungen oder Verformungen eines Objekts, beispielsweise eines Bauteils einer Maschine, oder Strömungen von Flüssigkeiten oder Gasen oder Wärmeverteilungen in einem solchen Objekt, zu berechnen. Die uns interessierenden Objekte werden oft mit CAD-Software (Comupter Aided Design) entworfen, Simulationsrechnungen typischerweise mit einer FEM-Software (Finite Elemente Methode) vorgenommen. Diese Methoden verwenden normalerweise ganz andere Methoden für die Darstellung des Bauteils. Das Ziel von Isogeometric Analysis ist es, CAD und FEM durch eine einheitliche Darstellung näher zusammenzurücken. Bei der Umsetzung dieser Idee treten einige Fragestellungen auf, denn man will, dass die Simulationsrechnung genaue Ergebnisse liefert, dass man den bei der Simulationsrechnung gemachten Fehler abschätzen kann, dass die Resultate der Simulationsrechnung stabil von den Eingabedaten abhängen, dass die für die Simulationsrechnung verwendeten Algorithmen für die Berechnung möglichst wenige Rechenschritte (und damit auch möglichst wenig Zeit und Energie), außerdem möglichst wenig Speicher benötigen. Im Projekt haben wir uns genau mit diesen Fragestellungen beschäftigt. Dabei haben wir uns auf die Poisson'sche Gleichung (welche auch die Wärmeleitung in einem Körper beschreibt), die Stokes'schen Gleichungen (welche Strömungen beschreiben) und die Gleichungen der linearisierten Elastizität (welche Deformationen von Festkörpern beschreiben) fokussiert. Diese partiellen Differentialgleichungen werden mit Methoden der Isogeometric Analysis diskretisiert, das heißt, durch lineare Gleichungssysteme angenähert. Bei einer solchen Annäherung wird natürlich ein kleiner Fehler gemacht, wobei wir mathematisch bewiesen haben, dass dieser eine bestimmte Größe nicht überschreiten kann, die von der Gitterweise und den verwendeten Polynomgraden abhängt. Außerdem haben wir Algorithmen vorgeschlagen, um die linearen Gleichungssysteme schnell aufzulösen. Diese Algorithmen haben wir nicht nur in einer Implementierung am Computer getestet, sondern sondern auch mathematisch bewiesen, dass bestimmte Höchstgrenzen hinsichtlich der Zahl der Rechenschritte und des Speicherverbrauchs nicht überschritten werden. Die Höchstgrenzen hängen von der betrachteten Problemstellung, der Form des jeweiligen Bauteils, aber auch von der gewählten Diskretisierung, also etwa der Gitterweite ab. Verfeinert man das Gitter, erhöht sich einerseits die Genauigkeit der Näherungslösung, andererseits aber auch die Zahl der Unbekannten und damit unvermeidlich auch Laufzeit und der Speicherverbrauch. Im besten Fall steigt die Laufzeit und der Speicherverbrauch linear mit der Zahl der Unbekannten an. Für bestimmte der von uns vorgeschlagenen Algorithmen konnten wir genau das zeigen, für andere Algorithmen konnten wir zeigen, dass die Laufzeit und der Speicherverbrauch nur unwesentlich schneller ansteigen, als die Zahl der Unbekannten.