Polyanalytische Funktionen und verwandte Themen

Der thematische Fokus des Projekts liegt an der Schnittstelle zwischen zwei Gebieten der Mathematik: komplexe Analysis und Zeit-Frequenz Analysis. Komplexe Analysis beschäftigt sich mit Funktionen von komplexen Zahlen. Die meist untersuchten Objekte sind hier traditionell sogenannte analytische Funktionen die geometrisch als Abbildungen beschrieben werden können, welche kleine Kreise auf Kreise abbilden. Die Zeit-Frequenz Analysis versucht Funktionen derart darzustellen, dass die Zeit-Frequenz Komponenten einfach auszulesen sind. Als einfaches Beispiel einer solchen Darstellung kann eine Notenzeile herangezogen werden: Hier kann ein Signal (in diesem Fall ein Musikstück) einfach als aktive Frequenzen zu unterschiedlichen Zeiten dargestellt werden. Die Zeit-Frequenz Analysis hat ihren Ursprung in Anwendungen und das zentrale Werkzeug, die Kurzzeit-Fourier-Transformation, wird in unzähligen technischen Bereichen angewandt. Ein gemeinsames Konzept in diesem Projekt ist die Theorie der polyanalytischen Funktionen, welche ein klassisches Feld der komplexen Analysis sind und analytische Funktionen verallgemeinern. Diese ermöglichen eine Verbindung zwischen den beiden genannten Gebieten. Eines der Ziele des Projektes ist eine Antwort auf folgende klassische Frage zu geben: Wenn wir eine Funktion an einigen Punkten, den sogenannten Messpunkten, auswerten, können wir sie stabil wiederherstellen auf Basis der gemessenen Punkte? Da die meisten echten Signale kontinuierlich sind, aber eine diskrete Version für Berechnungen benötigt wird, ist diese Frage nicht nur mathematisch interessant, sondern auch für viele technische Anwendungen. In dem Projekt wird der theoretische Hintergrund dieser Frage in mehreren Varianten behandelt die in komplexer und Zeit- Frequenz Analysis vorkommen. Zusätzlich werden Bedingungen gesucht, wie dicht die Messpunkte liegen müssen um eine stabile Wiederherstellung zu garantieren. Ein weiteres Ziel des Projekts ist bestimmte determinante Punktprozesse die in Beziehung zu komplexer und Zeit-Frequenz Analysis stehen zu analysieren. Ein Punktprozess beschreibt eine zufällige Verteilung an Punkten, wobei determinante Punktprozesse eine wichtige Unterart sind, welche die zufälligen Positionen sich abstoßender Partikel, zum Beispiel Elektronen, beschreiben. Determinante Punktprozesse haben eine sehr elegante mathematische Beschreibung und kommen in vielen Gebieten wie statistischer Physik oder Zufallsmatrizentheorie vor. Die Ergebnissen dieses Projekts werden die Untersuchung von Elektronen in einem starken magnetischen Feld vereinfachen. Ein letztes Ziel des Projekts ist die Erweiterung der Unschärferelation. In ihrer klassischen Form besagt sie, dass man nie die zeitliche Position und die Frequenz eines Signals gleichzeitig exakt bestimmen kann. In dem Projekt werden neue Versionen dieser Relation in verschiedenen Szenarien der komplexen und Zeit-Frequenz Analysis hergeleitet, mit dem Ziel möglichst feine Abschätzungen zu erhalten.

Im Zentrum des Projekts standen polyanalytische Funktionen welche klassische Objekte der komlexen Analysis sind, einem Teilgebiet der Mathematik das sich speziell mit zweidimensionalen Phänomenen beschäftigt. Generelles Ziel war zu erforschen wie polyanalytische Funktionen als Verbindung zwischen scheinbar getrennten Gebieten der Mathematik fungieren. Der Hauptfokus im Projekt lag auf dem Studium zufällig erzeugter polyanalytischer Funktionen. Diese zufälligen Funktionen kommen in natürlicher Weise beispielweise in der Signalanalyse vor. Genauer ist es in diesem Bereich üblich Signale zu transformieren um sie leichter analysierbar zu machen. Eine der am häufigsten verwendeten deratigen Transformationen ist die Kurzzeitfouriertransformation. Wenn diese zur Transformation reinen Rauschens verwendet wird, entstehen die in diesem Projekt untersuchten zufälligen Funktionen. Dieser vielversprechende Ansatz liegt im Schnittbereich zwischen Quantenmechanik, Zeit-Frequenz-Analyse, komplexer Analysis und Wahrscheinlichkeitstheorie. Ich erachte die Etablierung dieses neuen Forschungsansatzes als den wesentlichsten Beitrag des Projektes. Zusätzlich erforschte ich im Projekt Fragen der Art "Wie kann ein Signal rekonstruiert werden, wenn man nur bruchstückhafte Informationen über das Signal hat?" Derartige Fragen kommen in vielen Berichen der reinen und angewandten Mathematik vor. Ich stellte sie im Kontext der komplexen Analysis und konnte mit meinen Kooperationspartnern sehr präzise Antworten liefern.