Artin Approximation, Arc-Räume, Auflösung von Singularitäten

Das Forschungsprojekt befasst sich mit einem Themenkreis zwischen algebraischer Geometrie und kommutativer Algebra. Es geht um das Lösen von algebraischen und analytischen Gleichungen mit drei verschiedenen Methoden. In der Artin Approximation sucht man formale und konvergente Potenzreihenlösungen einer gegebenen Gleichung, etwa durch einen unbestimmten Ansatz für die Taylorentwicklung. Dieser liefert in der Regel nur eine formale Lösung durch die sukzessive Berechnung der einzelnen Koeffizienten. Artin`s Satz garantiert nun, sofern eine formale Lösung gefunden wurde, dass auch eine konvergente Lösung existiert. Damit erspart man sich mühsame Konvergenzabschätzungen. Im Projekt verfolgen wir eine Methode, nicht nur eine Lösung, sondern alle Lösungen (sowohl formal als auch konvergent) gleichzeitig zu konstruieren. Arc-Räume sind formale Kurven (also Potenzreihen in einer Variablen t) auf einer gegebenen Varietät X. John Nash schlug diese Räume vor, um die Singularitäten der Varietät besser zu verstehen. In der Tat gibt es eine Reihe von Beziehungen zwischen dem Arc-Raum und der lokalen Geometrie der Varietät in der Nähe eines singulären Punktes. Im Projekt werden einige neue Beziehungen entwickelt und genauer untersucht. Die Auflösung von Singularitäten geht wieder anders vor, indem sie eine gegebene singuläre Varietät durch ein sogenanntes Blowup modifiziert mit dem Ziel, die Komplexität der Singularität zu verringern. über Körper der Charakteristik 0 ist dies nach dem Satz von Hironaka immer möglich und führt nach endlich vielen Schritten zu einer glatten Varietät ohne Singularitäten. Im Projekt verfolgen wir einen mehr geometrischen Zugang zur Auflösung, indem wir die Blowups durch sogenannte höhere Nash Modifikationen ersetzen. Diese sind gegeben durch die Betrachtung der Tangentialräume und Krümmungen der Varietät in glatten Punkten. Die daraus resultierende Gauss- Abbildung liefert eine quasi-affine Varietät, deren Zariski-Abschluss die Modifikation der ursprünglichen Varietät definiert. Geometrisch bedeutet dies die Hinzunahme aller Grenzwerte von tangentialen Richtungen und Krümmungen in singulären Punkten. Das Verfahren wurde bereits erfolgreich auf Kurven angewandt und soll im Projekt auf den ungleich schwereren Fall von singulären Flächen erweitert werden. Die drei Forschungsrichtungen des geplanten Projektes sind eng miteinander verknüpft. Sie verwenden Techniken aus der unendlich-dimensionalen algebraischen Geometrie, der kommutativen Algebra und der Differentialgeometrie. Die Zielvorgaben sind konkret ausformuliert und sollen einen wesentlichen Beitrag zum Verständnis von Singularitäten leisten.

In diesem Projekt wurden substantielle Erweiterungen des berühmten Artin'schen Approximationssatzes erzielt: Zum einen wurde die unendlich-dimensionale Varietät aller Potenzreihen-Lösungen y(x) eines analytischen Gleichungssystems f(x,y)=0 explizit beschrieben, womit ein gleichzeitig ein geometrischer Zugang zu Artin's Satz erstellt werden konnte. Zum anderen wurde die Theorie auf das Studium von Arc-Räumen angewandt, um dort neue wichtige Einsichten zu gewinnen.