Optimale Steuerung mit endlichen Steuerungsmengen

MPC(ModelPredictiveControl) ist eine mathematischeMethodologie zur industriellen Prozesssteuerung, die in den letzten Jahren an Popularität gewonnen hat und derzeit als eines der wichtigsten Verfahren in diesem Bereich angesehen wird. Das Verfahren dient zur Konstruktion von Feedback-Lösungen für Optimalsteuerungsprobleme mit langem bzw. auch unendlich langem Zeithorizont. Die zugrundeliegende Dynamik kann dabei sowohl in stetiger als auch in diskreter Zeit formuliert werden. Wie alle Feedback-Lösungen, kann die Lösung eines MPC auf Störungen und Messungenauigkeiten reagieren, im Gegensatz zu sonst typischen Feedback Ansätzen erfolgt die Berechnung von MPC-Lösungen allerdings in Echtzeit. Dies erfordert hochfrequente Messungen und besonders effiziente Berechnungsmethoden, insbesondere für hochdynamische Prozesse mit schnellen Änderungen. Das vorliegende Projekt zielt darauf ab, verschiedene theoretische und numerische Aspekte von MPC weiterzuentwickeln, und dadurch effiziente Algorithmen für die Prozesssteuerung zu ermöglichen. Ein wichtiges Anwendungsgebiet in dem hochdynamische Prozesse auftreten ist die Leistungselektronik, dieeine Hauptmotivation zumvorliegenden Projekt liefert. In der Leistungselektronik erfolgt die Steuerung typischerweise durch Ein- und Ausschaltentscheidungen, wodurch das Kontrollproblem eine kombinatorische Komponente erhält und deutlich schwerer zu lösen ist. Als weitere Komplikation sind die untersuchten Optimalsteuerungsmodelle nicht koerziv, eine Eigenschaft die üblicherweise eine wichtige Rolle für die theoretische Analyse und für numerische Aspekte von Optimalsteuerungsmodellen spielt. Hauptziel des Projektes ist es daher, neue numerische Approximationsverfahren zu entwickeln, die ohne vorherige Regularisierung auf nicht koerzive Modelle angewendet werden können und in direkter Weise optimale Ein- und Ausschaltentscheidungen liefern. Ein derartiges Verfahren wurde für eine eingeschränkte Modellklasse vor kurzem vom Autor dieses Projektantrags zusammen mit Koautoren vorgeschlagen. Zur Weiterentwicklung derartiger Approximationsansätze, insbesondere zur Nutzung von Newton-ähnlichen IterationsverfahrenfürDifferential-Variationsungleichungenwirddie Regularitätstheorie für nicht koerzive Optimalsteuerungsmodelle im Rahmen des Projektes substanziell weiter entwickelt. Abgesehen von MPC und den Anwendungen in der Leistungselektronik sind die im Rahmen des Projektes entwickelten theoretischen und numerischen Verfahren auch für viele weitere technische und biomedizinische Optimalsteuerungsprobleme relevant, die entweder nicht koerziv sind oder eine endliche Kontrollmenge haben.

Model Predictive Control (MPC) ist eine wichtige mathematische Herangehensweise in der industriellen Prozesskontrolle, der automatischen Motorsteuerung und in vielen anderen Anwendungsgebieten, die auch die Wirtschaftswissenschaften und die Epidemiologie umfassen. Es werden mathematische Algorithmen zur annähernd optimalen Steuerung von dynamischen Systemen benutzt. Diese Algorithmen berücksichtigen zufällige Störungen und Messungenauigkeiten, sind aber auch sehr effizient in Hinblick auf die Rechenzeit. Dies ist besonders wichtig, wenn der zu steuernde Prozess "schnell" ist, was hohe Messfrequenz und kurze Berechnungszeiten erfordert. Viele praktisch relevante Versionen von MPC können als Methoden zur simultanen Erzeugung von annähernd optimalen Rückkopplungslösungen unter Unsicherheit aufgefasst werden. Die mathematische Analyse derartiger Verfahren basiert auf bestimmten Regularitäts- und Stabilitätseigenschaften für offene und geschlossene Regelkreise. Im gegenwärtigen Projekt wurden mehrere grundlegende mathematische Resultate nachgewiesen, die die Analyse ermöglichen. Für mehrere Klassen von Optimalsteuerungsproblemen (OSP) wurden Regularitäts- und Stabilitätskriterien nachgewiesen. Im Besonderen wurden OCPs untersucht, in denen die Steuerungsvariable in einer gegebenen endlichen Menge liegt. Diese Resultate wiederum wurden genutzt, um - abhängig vom Grad der Unsicherheit - Bedingungen zur Rechtfertigung der Verwendung der untersuchten OCP Varianten, sowie deren Genauigkeit zu erhalten. Mehrere Ansätze Effizienzverbesserung der numerischen Verfahren wurden entwickelt und gerechtfertigt: Das sogenannte "warm-starting", Zeitdiskretisierungsverfahren höherer Ordnung und die Nutzung von Newton-artigen Verfahren. Zudem wurde ein neues Verfahren zur Lösung von OCPs mit unendlichem Zeithorizont entwickelt, welches Anwendung in der mathematischen Ökonomie findet. Darüber hinaus wurde mit der Absicht die MPC-Methode anzuwenden und im Hinblick auf die COVID-Epidemie, die während der Projektarbeit auftrat, ein neues Modell der kontrollierten epidemischen Dynamik (insbesondere geeignet für Krankheiten mit relativ langer asymptomatischer Periode) entwickelt und für Simulationen und optimale Entscheidungsanalyse verwendet.