Integrale D-finite Funktionen

Die ganzen Zahlen bilden ein Fundament der Mathematik. Man kann sie addieren und multiplizieren, aber nicht immer dividieren. Damit auch Division mit allen Zahlen (außer Null) möglich wird, kann man zum größeren Zahlbereich der rationalen Zahlen übergehen. Neben den gewöhnlichen ganzen und rationalen Zahlen betrachtet man in der Zahlentheorie weitere, sogenannte algebraische Zahlen. Unter den algebraischen Zahlen kann man unterscheiden zwischen solchen, die größere Ähnlichkeit mit ganzen Zahlen haben und solchen die eher Ähnlichkeit mit rationalen Zahlen haben. Bei ersteren spricht man von algebraischen ganzen Zahlen. Das Konzept der algebraischen ganzen Zahlen spielt in der klassischen Zahlentheorie eine bedeutende Rolle. Der Ganzheitsbegriff lässt sich von Zahlen auf Funktionen übertragen. Für sogenannte algebraische Funktionen erhält man eine Theorie, die große Ähnlichkeit mit der Theorie der algebraischen Zahlen hat. In dem Projekt untersuchen wir eine Verallgemeinerung des Ganzheitsbegriffs für eine größere Klasse von Funktionen, sogenannte D-finite Funktionen. Diese Funktionen spielen eine große Rolle in vielen Bereichen der reinen und angewandten Mathematik, weil sie einerseits in vielen Zusammenhängen natürlich auftreten, und weil sich andererseits leicht mit ihnen rechnen lässt. Insbesondere lassen sich Eigenschaften D-finiter Funktionen oft mit geeigneten Computerprogrammen automatisch finden und beweisen. Computerprogramme zum Rechnen mit D-finiten Funktionen sind seit vielen Jahren Gegenstand der Forschung. Der Ganzheitsbegriff für D-finite Funktionen, der erst kürzlich geprägt wurde, spielte dabei bisher kaum eine Rolle. Angesichts der Nützlichkeit dieses Begriffs in der Zahlentheorie und der Theorie der algebraischen Funktionen liegt aber auf der Hand, dass dieses Konzept auch für D-finite Funktionen ein großes Potential hat. Dieses Potential auszuschöpfen ist das Ziel diese Projekts. Dabei werden wir sowohl die theoretischen Aspekte ganzer D-finiter Funktionen genauer beleuchten als auch Anwendungen in der Computeralgebra entwickeln. Wir erwarten, dass dadurch einige klassische Probleme effizienter gelöst werden können und für manche neuartige Problemstellungen erstmals algorithmische Lösungen möglich werden. Die Untersuchung ganzer D-finiter Funktionen ist daher nicht nur von unmittelbarem theoretischem Interesse sondern kommt mittelbar auch den Wissenschaftsgebieten zugute, in denen Fragen über D-finite Funktionen auftreten, die mithilfe von Computeralgebra beantwortet werden können. Dazu gehören vor allem die Kombinatorik und die Experimentelle Mathematik.

Die ganzen Zahlen bilden ein Fundament der Mathematik. Man kann sie addieren und multiplizieren, aber nicht immer dividieren. Damit auch Division mit allen Zahlen (außer Null) möglich wird, kann man zum größeren Zahlbereich der rationalen Zahlen übergehen. Neben den gewöhnlichen ganzen und rationalen Zahlen betrachtet man in der Zahlentheorie weitere, sogenannte algebraische Zahlen. Unter den algebraischen Zahlen kann man unterscheiden zwischen solchen, die größere Ähnlichkeit mit ganzen Zahlen haben und solchen die eher Ähnlichkeit mit rationalen Zahlen haben. Bei ersteren spricht man von algebraischen ganzen Zahlen. Das Konzept der algebraischen ganzen Zahlen spielt in der klassischen Zahlentheorie eine bedeutende Rolle. Der Ganzheitsbegriff lässt sich von Zahlen auf Funktionen übertragen. Für sogenannte algebraische Funktionen erhält man eine Theorie, die große Ähnlichkeit mit der Theorie der algebraischen Zahlen hat. In dem Projekt haben wir eine Verallgemeinerung des Ganzheitsbegriffs für eine größere Klasse von Funktionen untersucht, sogenannte D-finite Funktionen. Diese Funktionen spielen eine große Rolle in vielen Bereichen der reinen und angewandten Mathematik, weil sie einerseits in vielen Zusammenhängen natürlich auftreten, und weil sich andererseits leicht mit ihnen rechnen lässt. Insbesondere lassen sich Eigenschaften D-finiter Funktionen oft mit geeigneten Computerprogrammen automatisch finden und beweisen. Computerprogramme zum Rechnen mit D-finiten Funktionen sind seit vielen Jahren Gegenstand der Forschung. Der Ganzheitsbegriff für D-finite Funktionen, der erst kürzlich geprägt wurde, spielte dabei bisher kaum eine Rolle. Angesichts der Nützlichkeit dieses Begriffs in der Zahlentheorie und der Theorie der algebraischen Funktionen liegt aber auf der Hand, dass dieses Konzept auch für D-finite Funktionen ein großes Potential hat. Dieses Potential auszuschöpfen war das Ziel dieses Projekts. Dabei haben wir sowohl die theoretischen Aspekte ganzer D-finiter Funktionen genauer beleuchtet als auch Anwendungen in der Computeralgebra entwickelt. Diese Arbeit hat zum Beispiel zur Entwicklung von Algorithmen für reduction-based creative telescoping und zum Lösen von Differentialgleichungen beigetragen. Diese Untersuchungen ganzer D-finiter Funktionen sind nicht nur von unmittelbarem theoretischem Interesse sondern kommen mittelbar auch den Wissenschaftsgebieten zugute, in denen Fragen über D-finite Funktionen auftreten, die mithilfe von Computeralgebra beantwortet werden können. Dazu gehören vor allem die Kombinatorik und die Experimentelle Mathematik.