Abtastsätze in spektralen Teilräumen und variable Bandbreite

Die Bandbreite eines Signals ist die größte vorkommende Frequenz. Bei einem Musikstück ist klar, dass die maximale Frequenz zeitabhängig ist. Was für den Laien ganz plausibel ist, stellt für den Mathematiker und Ingenieur ein konzeptuelles Problem dar, weil das Unschärfeprinzip ein grundlegendes Hindernis darstellt. In der wissenschaftlichen Literatur gibt es mehrere Ansätze zur variablen Bandbreite, alle mit Stärken und Schwächen. In diesem Projekt soll ein völlig neuer Zugang zur variablen Bandbreite, der vom Projektteam erst vor kurzem vorgestellt wurde, erforscht werden. Der Begriff benützt das Spektrum gewisser Differentialoperatoren. In mathematischer Sprache ist ein Raum von Funktionen mit variabler Bandbreite als spektraler Teilraum eines elliptischen Operators zweiter Ordnung definiert. Das Ziel dieses Projekts ist die gründliche mathematische Untersuchung des neuen Konzepts und die Entwicklung von Algorithmen, die letztlich nützlich in der Signalverarbeitung sein konnten. Die grundlegenden Probleme, die zu untersuchen sind, sind Abtastsätze, die Frage nach einer kritischen Dichte, und numerische Rekonstruktionsalgorithmen. Abtasttheorie beschäftigt sich mit der Frage, ob, wann und wie eine Funktion oder ein Signal vollständig aus diskreten, abgetasteten Werten rekonstruiert werden kann. Beispielsweise wird Musik in einer CD in Form von diskreten Abtastwerten gespeichert. Die Rekonstruktion erzeugt dann ein Analogsignal aus diesen Abtastwerten. Die notwendige Informationsmenge für eine vollständige Rekonstruktion hängt von der Bandbreite ab und wird normalerweise als Nyquist-Rate oder kritische Dichte bezeichnet. Im Projekt sollen diese Fragen für variable Bandbreite untersucht werden, und zwar auf mehreren Ebenen der Allgemeinheit und Schwierigkeitsstufen. Es sollen Abtastsätze für Funktionen variabler Bandbreite zuerst in einer Variablen, später in mehreren Variablen studiert werden. Aufgrund von strukturellen Gemeinsamkeiten bietet sich der Ansatz (spektrale Teilräume als Räume variabler Bandbreite) an, auch bandbegrenzte Signale auf Graphen (Netzwerken) zu untersuchen, wobei diese Richtung bedeutsam für die Datenwissenschaft (data science) sein kann.

In diesem Projekt wurden mehrere Ideen für variable Bandbreite und entsprechende Abtastsätze untersucht. Bandbreite is the maximale Frequenz einer Funktion (eines Signals). Die grundlegenden Fragen beziehen sich auf die Rekonstruktion einer Funktion aus diskreten Abtastwerten und wieviel Information dafür notwendig ist. Diese Fragen wurden für klassische bandbegrenzte Funktionen von C. Shannon in seiner Informationstheorie beantwortet und bilden auch heute noch die Grundlage der Analog-Digital-Umwandlung von Signalen. Offensichtlich kann man auch bei einem zeit-variablen Signal wie Musik oder Sprache von wechselnden Maximalfrequenzen, also von variabler Bandbreite sprechen. Obwohl es viele Versuche in der Signalverarbeitung und er Physik gibt, variable Bandbreite zu definieren, gibt eine keinen Konsens über die richtige Formulierung. Die mathematische Formulierung ist subtil, da das Unschärfeprinzip grundlegende Hindernisse entgegenstellt. In diesem Projekt wurden mehrere mögliche Konzepte variabler Bandbreite eingeführt und untersucht, sowie die entsprechenden Abtastsätze (D/A-Konversion) und den für eine Rekonstruction notwendigen Informationsgehalt (notwendige Dichtebedingungen) untersucht. (i) Der erste Zugang beruht auf einer allgemeinen Reihenentwicklung von Funktionen (Signalen) durch unendliche Summen, wo jedem Summanden eine zeitliche Lokalisierung und ungefähre Frequenz zugeordnet werden kann. Die Hauptidee war die Benützung von Reihenentwicklungen bezüglich Wilsonbasen, die bereits bei der Signalverarbeitung, die zur Entdeckung von Gravitationswellen geführt hat, benutzt wurden. Die Hauptresultate zeigen, daß ein lokales Abschneiden der Frequenz zu einem brauchbaren Modell variabler Bandbreite führen, das mit der Intuition verträglich ist. (ii) Der zweite Zugang ersetzt Frequenz, wie sie bei der Fourier transformation vorkommt, durch die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines Operators, der durch physikalische Aspekte motiviert wird, z.B. Eigenfunktionen der stationären Wärmeleitungsgleichung in einem inhomogenen Medium. Endliche Bandbreite entsteht, wenn nur die Eigenfunktionen zu den niedrigen Eigenwerten (spektralen Parametern) im Model berücksichtigt werden. Ein Raum variabler Bandbreite ist dann ein spektraler Teilraum des zugehörigen Operators. In diesem abstrakteren Zugang wurden notwendige Dichtebedingungne für eine vollständige Rekonstruktion aus Abtastwerten hergeleitet. (iii) Des weiteren wurden Fragen nach Abtasten und Rekonstruktion für andere Signalmodelle, die durch Splinefunktionen oder total-positive Funktionen erzeugt werden, untersucht. In mehreren Fällen wurden die optimalen Resultate hergeleitet. In höheren Dimensionen wurden Abtastsätze für Polynome untersucht. Die zugrundeliegenden Methoden stammen aus mehreren Teilgebieten der Mathematik, wie etwa Zeit-Frequenz-Analyse, komplexe Analysis, Spektraltheorie und der Theorie der elliptischen partiellen Differentialgleichungen.