Pfade und Ränder - ein weiter Bogen

In für den Forschungszugang von W. Woess typischer Weise zielt dieses Projekt auf mathematische Forschung am Schnittpunkt verschiedener Gebiete ab. Im Fokus steht die Verbindung von Strukturtheorie mit Wahrscheinlichkeitstheorie, Analysis und Kombinatorik. Zufallspfade sind stochastische Prozesse, die in diskreten Zeitschritten auf einem Zustandsraum mit geometrischer, algebraischer oder kombinatorischer Struktur ablaufen. Die Denkweise wird durch den Titel einer Arbeit aus 1921 von G. Polya illustriert: Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie betreffend die Irrfahrt im Straßennetz. Seither hat sich die Theorie signifikant weiterentwickelt. Im vorliegenden Projekt ist der Zustandsraum nicht immer ein Graph (Straßennetz), und der Prozess kann auch in kontinuierlicher Zeit ablaufen, oder mit zunehmender Anzahl sich bewegender Partikel. Die Ränder des Titels komplettieren den Zustandsraum im Unendlichen. Das heißt, dass man dadurch Punkte im Unendlichen unterscheidet. In Thema A läuft der Zufallsprozess direkt auf einem Rand: ultrametrische Räume kann man als Ränder von Bäumen beschreiben. Sie kommen zB in der mathematischen Biologie vor, während hier die Inspriation aus der theoretischen Physik kam. Diese Räume tragen eine Familie von natürlichen Zufallsprozessen, von sogenannten hierarchischen Laplace-Operatoren induziert. Der Plan ist, zufällige Störungen der Operatoren mit einer Randomisierung des zugrundeliegenden Baumes zu kombinieren. B. Verzweigende Irrfahrten modellieren eine Population, die sich entsprechend einem random walk bewegt, während sie durch fortgesetzte Reproduktion zunimmt.Wir wollen die Zufallsfolge der empirischen Verteilungen der Population auf Bäumen und anderen unendlichen Graphen, sowie ihr Verhalten im Unendlichen untersuchen. Thema C betrifft Varianten der Brownschen Bewegung, wo die Geometrie negativ gekrümmt ist wie in Ensteins Modell des Universums, und der Zufallspfad trifft auf Linien, wo er gestört wird. Wir wollen das Langzeitverhalten durch den sogenannten Martin-Rand beschreiben; die Aufgabe ist, diesen rigoros zu beschreiben. D. Polyharmonische Funktionen treten zB in Gleichungen der Elastizitätstheorie auf. Nur wenig erforscht wurde das diskrete Gegenstück betreffend random walks. Wir planen, polyharmonische Funktionen auf Bäumen und verwandten Strukturen genauer zu untersuchen. E. Das Zählen überschneidungsfreier Pfade in Graphen bezieht die Motivation aus der statistischen Physik und beinhaltet schwierige Methoden und berühmte Resultate. Auf den ersten Blick recht verschieden von A-D, aber natürlicher Teil des Panoramas des Antragsstellers, werden diese Pfade vom Gesichtspunkt der Theorie der formalen Sprachen studiert, was eine Verbindung zur den theoretischen Computerwissenschaften herstellt. Für dieses Projekt und seine MitarbeiterInnen wird eine intensive Interaktion mit dem FWF- Doktoratskolleg Discrete Mathematics erwartet, dessen Sprecher W. Woess ist.

Dieses mathematische Forschungsprojekt hat sich mit Fragestellungen befasst, die sich in vielfältiger Weise mit "Pfaden" und "Rändern" befassen, sowie ergänzenden Themen. Pfade (walks) sind hier Wege in Graphen, oder auch "Irrfahrten" (Anmerkung: dies ist die übliche deutschprachige Terminologie für "random walks" = Zufallswanderungen) und kontinuierliche Zufallsprozesse wie Brownsche Bewegung. Die Ränder sind Mengen, die der jeweiligen Struktur (Graph, Gruppe) im Unendlichen als Fernpunkte hinzugefügt werden. Ein erfolgreich bearbeitetes Thema betrifft selbstvermeidende Pfade in unendlichen, transitiven Graphen, insbesondere Cayleygraphen von Gruppen. Solche Pfade wurden für Gittergraphen vom Chemie-Nobelpreisträger Paul Fleury als theoretische Modelle von Polymerketten eingeführt, und spielen seither in der Verbindung von Kombinatorik, Stochastic und statistischer Physik eine große Rolle. Im Projekt wurde dies mit der Theorie der formalen Sprachen aus der theoretischen Informatik verknüpft, und eine umfassende Methodik für transitive Graphen mit unendlichem Endenrand entwickelt. Ein zweites Erfolgsthema betrifft das Randverhalten von verzweigenden Irrfahrten. Dies sind Modelle, wo unter gegebenen Zufallsgestezen eine zeitlich zunehmende Population sich in einem Raum (Graph, Gruppe) bewegt, und es wurde das Randverhalten der zugehörigen Folge der empirischen Verteilungen beschrieben. Eine dritte Thematik verbindet Zufallswege mit Potentialtheorie: für Irrfahrten vom nächsten Nachbarn - Typ auf undendlichen Bäumen wurden polyharmonische Funktionen und deren Randverhalten im Detail studiert. In einer der neuesten Projektpublikationen wurde dies auch für den kontinuierlichen Fall der hyperbolischen Ebene erfolgreich bearbeitet. Weitere Themen betreffen zB Randentropie, die Austrittszeiten von Zufallswanderungen aus Quadranten im Zahlengitter, Martinrand und Quotientensätze für Irrfahrten auf Gruppen, typische Indizes selbstähnlicher Graphen in Verbindung mit Automatentheorie, weitere kombinatorisch - graphentheoretische Fragestellungen, sowie Asymptotik von subordinierten Irrfahrten sowie der Brownschen Bewegung zugeordneten Zufallsprozessen. Die Themen dieses Projektes waren breit angelegt, und hatten insbesondere das Ziel, jungen ForscherInnen im Rahmen der Forschungsgruppe von Woess Entfaltungsmöglichkeiten zu geben. In der Tat gab es insgesamt 5 angestellte ProjektmitarbeiterInnen und eine große Zahl an Projektpublikationen, die in diesem Projekt begonnen, durchgeführt, bzw. beendet wurden.