Kovariante Quantenräume, höherer Spin, und Gravitation

Wir wissen heute, dass die Natur durch die Quantenmechanik beschrieben wird. Dies ist für alle fundamentalen Wechselwirkungen gut verstanden, mit Ausnahme der Gravitation. Trotz großer Anstrengungen in den vergangenen Jahrzehnten bleibt die Vereinigung von Quantenmechanik mit Gravitation eines der großen offenen Probleme der theoretischen Physik. Ein Grund für die besondere Schwierigkeit liegt darin, dass Quantengravitation zu einer Modifikation der grundlegenen Konzepte der Geometrie führt, und man erwartet eine Quantenstruktur der Geometrie bei sehr kurzen Abständen. Andererseits fordert die Relativitätstheorie eine (lokale) Lorentz-Invarianz. Diese zwei Forderungen sind nur schwer in Einklang zu bringen. Fortschritte in den vergangenen Jahren führten zu der Einsicht, dass geometrische Räume aus einfacheren zugrundeliegenden Modellen mit wenig oder gar keiner Geometrie entstehen können. Dies passiert z.B. in gewissen mit der Stringtheorie zusammenhängenden Matrix-Modellen, insbesondere dem sogenannten IKKT Modell. Vor kurzem wurden neuartige Lösungen diese Modells gefunden, welche sowohl die essentiellen geometrischen Eigenschaften einer kosmologischen (also homogenen und isotropen) Raumzeit erfüllen, und zugleich eine Quantenstruktur bei kurzen Abständen aufweisen. Diese Quantengeometrien könnten die Rolle der physikalischen expandierenden Raumzeit beginnend mit einem Big Bang spielen. Diese Lösungen bilden den Ausgangspunkt des vorliegenden Projektes. Im Rahmen des Projektes werden die physikalischen Eigenschaften dieser quantisierten Raumzeiten im Rahmen des IKKT Modells untersucht. Ein besonderer Fokus liegt in der Eichtheorie der Spin 2 Fluktuations-Moden, welche die natürlichen Freiheitsgraden der Gravitation bereitstellen. Die resultierende Gravitationstheorie wird detailliert untersucht, und mit den bekannten Modellen verglichen. Darüberhinaus wird auch die analog entstehende höhere-Spin Eichtheorie untersucht. Hierfür ist insbesondere eine vollständige Strukturierung und Analyse der Fluktuations-Moden auf dieser Raumzeit notwendig, sowie die Beschreibung der Dynamik im IKKT Modell. Weitere zu untersuchende Themen sind Quantenkorrekturen zu den klassischen Beiträgen, Stabilität, und die Eigenschaften des Big Bang in diesem Szenario.

Ein fundamentales Problem der theoretischen Physik besteht in der Entwicklung einer konsistenten Quantentheorie aller fundamentalen Wechselwirkung, insbesondere der Gravitation. Dies erfordert eine Quanten-Struktur von Raumzeit und Geometrie. In dem vorliegenden Projekt wurde eine konkrete solche Quantengeometrien studiert, die eine expandierende kosmologische Raumzeit beginnend mit einem Big Bang bzw einem Big Bouce beschreibt. Diese Geometrie ist eine Lösung des sogenannten IKKT Matrix Models bzw. der sogenannten "Matrix-Theorie", die als konstruktive Version der Stringtheorie betrachtet werden kann. Im vorliegenden Projekt wurden mathematische und physikalische Aspekte dieser quantisierten Raumzeiten im Rahmen des IKKT Modells untersucht. Ein Fokus lag auf den Spin 2 Fluktuations-Moden, welche die Freiheitsgrade der Gravitation beschreiben. Die daraus entstehende Gravitationstheorie wurde in dem Projekt untersucht. Darüber hinaus wurde auch die auf dieser Raumzeit entstehende höhere-Spin Eichtheorie studiert, die als verallgemeinerte Gravitationstheorie interpretiert wird. Anhand einer vollständigen Analyse der Fluktuations-Moden konnte gezeigt werden, dass diese Theorie stabil ist, und keine pathologischen Fluktuations-Moden aufweist. Weiters wurde eine geeignete mathematische Beschreibung der nicht-linearen Geometrie und Dynamik dieser Theorie entwickelt. Dadurch war es erstmals möglich, die Entstehung der Einstein-Hilbert Wirkung im Rahmen der Matrix Theorie direkt nachzuweisen, welche der Einstein'schen allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde liegt. Die ist ein bedeutender Schritt zum Verständnis der Gravitation in einem quantentheoretischen Rahmen. In weiteren Arbeiten wurde die Zeitentwicklung von Elementarteilchen auf dem betrachteten kosmologischen Hintergrund untersucht. Insbesondere konnte gezeigt werden, dass diese Zeitentwicklung den aus der Quantenfeldtheorie bekannten Regeln gehorcht, und somit konsistent mit der etablierten Physik ist. Schließlich wurde auch eine alternative Formulierung der Theorie in der Sprache der Spinoren entwickelt, welche für die Berechnung von Streu-Prozessen vorteilhaft ist. Neben strukturellen und mathematischen Grundlagen und Konsistenz-Checks wurden auch physikalische Eigenschaften der entstehenden Gravitationstheorie untersucht. Beispielsweise zeigte sich, dass die gewöhnliche Big Bang in diesem Rahmen durch einen sogenannten Big Bounce ersetzt wird. Insbesondere konnten gezeigt werden, dass Information aus der pre-Big-Bounce Phase in die post-Big-Bounce Phase übertragen werden kann. Dies könnte weitreichende Auswirkungen auf unser Verständnis der Kosmologie haben, welche aber ein noch detaillierteres Verständnis dieses Modells erfordert. Schliesslich wurde die Wirkung dieser neuartigen Gravitations-Theorie auf Fermionen untersucht, welche die Grundbausteine der gewöhnlichen Materie sind. Dabei tritt ein interessanter Zusatzterm auf, der in der Einstein'schen Theorie nicht vorhanden ist. Es konnte aber gezeigt werden, dass sich diese Modifikation nur minimal auf das Verhalten von Fermionen auf gekrümmten Räumen auswirkt. Dies untermauert die physikalische Tragfähigkeit des untersuchten Modells.