Flachheitsbasierte Systemzerlegungen

Die Analyse und Beeinflussung von Systemen wird zweckmäßig anhand mathematischer Modelle der zugrundeliegenden (physikalischen) Prozesse durchgeführt. Dynamische Prozesse lassen sich mithilfe sogenannterDifferentialgleichungen(DGLn) beschreiben.Im Rahmendergewöhnlichen Differentialgleichungen ist ein Hauptunterscheidungsmerkmaldie Linearität beziehungsweise die Nichtlinearität des betrachteten Systems. Die Analyse für letztgenannte Systemklasse ist nun ein anspruchsvolles Gebiet im Rahmen der System- und Regelungstheorie und hinsichtlich des Entwurfs von Steuerungen und Regelungen ist die Klasse der nichtlinearen DGLn, im Gegensatz zu den linearen Systemen, deutlich herausfordernder. In diesem Projekt wollen wir einen Beitrag leisten um für nichtlineare Systeme Analysemethoden zu entwickeln, welche dann den Steuerungs- und Reglerentwurf erleichtern. Mithilfe von mathematischen Methoden soll einerseits Systemanalyse betrieben werden, das heißt formale Eigenschaften des dynamischen Systems charakterisiert werden und insbesondere die Systemeigenschaft der Flachheit analysiert werden. In diesem Forschungsprojekt widmen wir uns der Aufgabe Methoden zu entwickeln, die den Nachweis eines nichtlinearen Systems hinsichtlich der Flachheitseigenschaft ermöglichen. Die Systemeigenschaft der Flachheit bietetenorme Möglichkeiten hinsichtlich der gezielten Beeinflussung von komplexen nichtlinearen Systemen, jedoch existiert noch kein algorithmischer Test, der ein System effizient auf diese Eigenschaft prüft. Im Wesentlichen besagt die Flachheitseigenschaft, dass man die Systemlösungen mithilfe von frei vorgebbaren Funktionen parametrieren kann, was für nichtlineare Systeme eine bemerkenswerte Eigenschaft ist. Verwendet man zur Regelung von Prozessen einen Digitalrechner, dann kann es zweckmäßig sein, anstatt einer nichtlinearen Differentialgleichung eine sogenannte Differenzengleichung zu betrachten. Auch für diese Systeme wollen wir eine systematische Flachheitsanalyse vorantreiben. In industriellen Anwendungen werden nichtlineare Systeme oft durch Linearisierung um einen Betriebspunkt betrachtet, um die mächtigeren Methoden aus der linearen Systemtheorie anwenden zu können. Neue Erkenntnisse, welche nun direkt auf dem nichtlinearen System basieren, bieten im Vergleich zu den oben genannten Näherungslösungen natürlich entsprechende Vorteile, insbesondere hinsichtlich Performance, Effizienz, Energieverbrauch und Robustheit, um nur einige zu nennen.

Die Analyse und Beeinflussung von Systemen wird zweckmäßig anhand mathematischer Modelle der zugrundeliegenden (physikalischen) Prozesse durchgeführt. Dynamische Prozesse lassen sich mithilfe sogenannter Differentialgleichungen (DGLn) beschreiben. Im Rahmen der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist ein Hauptunterscheidungsmerkmal die Linearität beziehungsweise die Nichtlinearität des betrachteten Systems. Die Analyse für letztgenannte Systemklasse ist nun ein anspruchsvolles Gebiet im Rahmen der System- und Regelungstheorie und hinsichtlich des Entwurfs von Steuerungen und Regelungen ist die Klasse der nichtlinearen DGLn, im Gegensatz zu den linearen Systemen, deutlich herausfordernder. In diesem Projekt haben wir für nichtlineare Systeme Analysemethoden entwickelt, welche dann den Steuerungs- und Reglerentwurf erleichtern. In diesem Forschungsprojekt haben wir es uns zur Aufgabe gemacht, Methoden zu entwickeln, die den Nachweis eines nichtlinearen Systems hinsichtlich der Flachheitseigenschaft ermöglichen. Die Systemeigenschaft der Flachheit bietet enorme Möglichkeiten hinsichtlich der gezielten Beeinflussung von komplexen nichtlinearen Systemen, jedoch existiert noch kein algorithmischer Test, der ein System effizient auf diese Eigenschaft prüft. Wir haben nun für wichtige Systemklassen systematische Tests entwickelt. Im Wesentlichen besagt die Flachheitseigenschaft, dass man die Systemlösungen mithilfe von frei vorgebbaren Funktionen parametrieren kann, was für nichtlineare Systeme eine bemerkenswerte Eigenschaft darstellt. Verwendet man zur Regelung von Prozessen einen Digitalrechner, dann kann es zweckmäßig sein, anstatt einer nichtlinearen Differentialgleichung eine sogenannte Differenzengleichung zu betrachten. Auch für diese Systeme haben wir die systematische Flachheitsanalyse vorangetrieben und es ist uns gelungen, für eine sehr große Klasse von nichtlinearen zeit-diskreten Systemen Bedingungen und Algorithmen zum Test der Flachheitseigenschaft bereitzustellen. Für die sogenannte flachheitsbasierte Folgeregelung haben wir gezeigt, dass es im Gegensatz zu bisherigen Ansätzen systematisch möglich ist, die Regelung mit denen aus der Problemstellung verfügbaren Sensorsignalen zu entwerfen und die Schätzung fiktiver Sensorsignale überflüssig ist. In industriellen Anwendungen werden nichtlineare Systeme oft durch Linearisierung um einen Betriebspunkt betrachtet, um die mächtigeren Methoden aus der linearen Systemtheorie anwenden zu können. Neue Erkenntnisse insbesondere auch jene zur flachheitsbasierten Folgeregelung, welche nun direkt auf dem nichtlinearen System basieren, bieten im Vergleich zu den oben genannten Näherungslösungen natürlich entsprechende Vorteile, insbesondere hinsichtlich Performance, Effizienz, Energieverbrauch und Robustheit, um nur einige zu nennen.