Elliptisch hypergeometrische Kombinatorik

Das Ziel dieses Projekts, Elliptisch hypergeometrisch Kombinatorik, ist die Erforschung gewisser kombinatorischer Aspekte elliptisch hpergeometrischer Reihen und verwandter Objekte, mit dem allgemeinen Ziel, die relativ junge Theorie der elliptisch hypergeometrischen Reihen weiterzuentwickeln. Elliptisch hypergeometrische Reihen sind Reihen, welche elliptische Funktionen involvieren und eine natürliche Verallgemeinerung der hypergeometrischen Reihen darstellen. Diese wurden relativ spät, erst 1987, entdeckt. Es vergingen weitere zehn Jahre bis man 1997 erstmals explizite Formeln für diese Reihen fand. Das Interesse der wissenschaftlichen Gemeinde vergrößerte sich blitzschnell; elliptisch hypergeometrische Reihen haben sich mittlerweile zu einem heißen Gebiet aktueller Forschung entwickelt. In den letzten Jahren wurde eine beträchtliche Menge existierender Theorie auf den elliptischen Fall übertragen. Viele Fragen zu den elliptisch hypergeometrischen Reihen sind aber offen geblieben; ihre Verbindung zu anderen Gebieten in der Mathematik und der Physik muss besser verstanden werden. In diesem Projekt sollen verschiedene kombinatorische Aspekte der elliptisch hypergeometrischen Reihen untersucht werden; dieser Fokus ist einzigartig. Insbesondere beschäftigt sich das Projekt mit der kombinatorischen Abzählung unter Zuhilfenahme elliptischer Gewichte; einer der Ziele besteht darin, elliptische Erweiterungen spezieller kombinatorischer Zahlen zu finden und gründlich zu erforschen. Andere Untersuchungsbereiche beinhalten elliptisch kommutierende Variablen, die Kombinatorik von Thetafunktionsidentitäten und die weitere Entwicklung mächtiger Werkzeuge um Identitäten herzuleiten. Um die spezifischen Ziele zu erreichen, werden verschiedene Methoden verwendet, u.a. kombinatorisches Werkzeug, sowie Werkzeuge aus der Algebra und der klassischen Analysis. Die Dauer des Projekts, welches von Michael J. Schlosser von der Fakultät für Mathematik der Universität Wien geleitet wird, beträgt vier Jahre. Zusätzlich besteht das Team aus einem Doktoratsstudenten (oder einer Doktoratsstudentin) sowie einem Postdoc (welche vier, bzw. drei Jahre, angestellt werden).

Dieses Projekt, "Elliptisch hypergeometrische Kombinatorik", diente der Erforschung gewisser kombinatorischer Aspekte elliptisch hpergeometrischer Reihen und verwandter Objekte, mit dem allgemeinen Ziel, die relativ junge Theorie der elliptisch hypergeometrischen Reihen weiterzuentwickeln. Elliptisch hypergeometrische Reihen sind Reihen, welche elliptische Funktionen involvieren und eine natürliche Verallgemeinerung der hypergeometrischen Reihen darstellen. Diese wurden relativ spät, erst 1987, entdeckt. Es vergingen weitere zehn Jahre bis man 1997 erstmals explizite Formeln für diese Reihen fand. Das Interesse der wissenschaftlichen Gemeinde vergrößerte sich blitzschnell; elliptisch hypergeometrische Reihen haben sich mittlerweile zu einem heißen Gebiet aktueller Forschung entwickelt. In den letzten Jahren wurde eine beträchtliche Menge der existierenden Theorie der hypergeometrischen Reihen auf den elliptischen Fall übertragen. Manche Fragen zu den elliptisch hypergeometrischen Reihen sind allerdings noch offen geblieben, insbesondere zu ihrer Verbindung zu anderen Gebieten in der Mathematik und der Physik. In diesem Projekt wurden verschiedene kombinatorische Aspekte der elliptisch hypergeometrischen Reihen untersucht - ein in der internationalen Forschungslandschaft einzigartiger Fokus. Eines der erreichten Hauptziele des Projekts betraf die Abzählung kombinatorischer Objekte unter Verwendung elliptischer Gewichte; insbesondere wurde es dabei geschafft, elliptische Erweiterungen spezieller kombinatorischer Zahlen zu finden und zu erforschen. Weitere Untersuchungsbereiche betrafen elliptisch kommutierende Variable und die Kombinatorik dazu gehöriger Identitäten. Außerdem wurden zu den elliptischen Funktionen eng verwandte Gebiete, unter anderem Thetafunktionen, bilaterale Reihen und Rogers-Ramaunjan Identitäten, untersucht und dabei beachtliche Fortschritte erzielt (darunter erstmals bilaterale Identitäten vom Rogers-Ramanujan Typ). Zur Erreichung der spezifischen Ziele wurden verschiedene Methoden verwendet, u.a. kombinatorisches Werkzeug (wie Gitterpunktwege), sowie Werkzeuge aus der Algebra und der klassischen Analysis. Die Dauer des Projekts, welches von Michael J. Schlosser von der Fakultät für Mathematik der Universität Wien geleitet wurde, betrug, inklusive einer genehmigten Verlängerung, fünf Jahre. Zusätzlich bestand das Team aus einem Doktoratsstudenten, der seine Dissertation erfolgreich abschließen konnte, sowie drei Postdocs, welche unterschiedlich lang angestellt waren. Publiziert wurden die Forschungsergebnisse in durchaus angesehenen wissenschaftlichen Journalen (wie die Transactions of the American Mathematical Society), sowie mehrere Vorträge auf internationalen Tagungen gehalten.