Automorphe Modelle und L-Werte für globale Algebren

Was die Atome für einen Physiker, sind die Primzahlen für einen Zahlentheoretiker. Tatsächlich, so wie die Atome alle Materie aufbauen, sind die Primzahlen so etwas wie die Grundbausteine aller natürlichen Zahlen (= die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, ): Jede solche Zahl lässt sich auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen schreiben. Trotz 2500 Jahren reger Forschung beginnend mit Euklid stellt die Verteilung der Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen nach wie vor ein Rätsel dar und scheint keinem klaren Muster zu folgen zumindest auf den ersten Blick. Die Zahlentheorie weiß heute, dass gewisse spezielle Funktion, sogenannte L-Funktionen, den Schlüssel zur Beschreibung eines solchen Musters darstellen, und in der Tat alles mögliche Wissen über die Verteilung der Primzahlen kodieren. Das Problem hierbei ist, dass diese L-Funktionen gleich rätselhaft wie die Primzahlen selbst erscheinen und ihre Geheimnisse keinesfalls leicht preisgeben. Das Ziel des Forschungsprojektes Automorphe Modelle und L-Werte für globale Algebren ist es, eine neue Welle an Forschung über diese (scheinbar) unerforschlichen L-Funktionen zu starten. Zusammen mit seinem Team an jungen Wissenschaftern (es ist geplant zwei DoktorandInnen aus den Mitteln dieses Projekts anzustellen) beabsichtigt der PI zahlreiche wichtige, einschlägige Resultate aus der jüngsten Vergangenheit zu erweitern und zu verallgemeinern und so die Landkarte der Theorie substanziell zu vergrößern. Der Fokus unserer Arbeit liegt dabei auf der Erforschung der Zusammenhänge zwischen den Werten solcher L-Funktionen an speziellen Stellen und sogenannten Perioden-Invarianten, welche über den Vergleich rationaler Strukturen auf gewissen Modellräumen definiert sind. Dies wird eine gründliche und breit angelegte Analyse dieser Perioden-Invarianten und der erwähnten Modellräume selbst miteinschließen. Der PI erwartet, dass die Ergebnisse dieses Projekts von gleich zweierlei Nutzen für die sich stetig weiterentwickelnde Theorie der L-Funktionen sein werden: Erstens werden unsere geplanten Resultate eine viel konzeptuellere Analyse gewisser spezieller Werte von L-Funktionen ermöglichen, und damit ein komplett neues Licht auf bereits bekannte, tiefliegende Resultate werfen. Zweitens werden wir dank der Neuheit unseres Zugangs (wir sind die ersten, welche in diesem Kontext mit invertierbaren Elementen völlig allgemeiner, zentral einfacher Algebren arbeiten werden) ein starkes Fundament für weitere, bahnbrechende zahlentheoretische Forschung legen.

"La libertad es como un nmero primo." - Roberto Bolaño in Los Detectives Salvajes. Primzahlen sind - wenngleich für den Laien vielleicht unsichtbar - aus dem heutigen Leben nicht wegzudenken. Moderne Verschlüsselungsmethoden wie das RSA-Verfahren oder die Elliptic Curve Cryptography schützen unsere sensiblen Daten (Bankkontos, Kreditkarten, Pässe, Versicherungskarten) und bewahren uns vor Missbrauch bei Käufen im Netz und Identitätsdiebstahl. Ob eine Zahl prim ist oder nicht, sieht man ihr allerdings nicht an. Und es ist in der Tat eines der größten ungelösten Probleme der Mathematik, und hier insbesondere ihrer Spezialdisziplin, der Zahlentheorie, die Verteilung der Primzahlen im "undendlichen Meer" aller Zahlen zu verstehen. Heute weiß die moderne Forschung, dass gewisse zahlentheoretisch relevante Funktion, so genannte L-Funktionen, die Verteilung der Primzahlen kodieren - wenn auch auf für uns noch immer im hohen Maß mysteriöse Weise. Dieses Forschungsprojekt hatte zum Ziel, das Verhalten eben dieser L-Funktionen in ausgewählten, wichtigen Spezialfällen zu beschreiben und so wesentliche neue Erkenntnisse der Arithmetik zu erlangen.