Optimalität und Stabilität in Optimierung

Die Aufgabenstellungen der Optimierung, das Auffinden eines optimalen Wertes oder einer optimalen Herangehensweise, sind grundlegend und entspringen einer Vielzahl von Problemen aus den Naturwissenschaften, Sozialwissenschaften, Ingenieurswissenschaften und vielen weiteren. Beispielsweise versucht man, ein Objekt (Brücke, Gebäude, etc.) mit gewissen erforderlichen Beschaffenheiten und minimalen Ressourcen zu konstruieren. Von großer Relevanz ist auch die Auswahl einer optimalen Strategie im Bezug auf die Strategien anderer Spieler in der Spieltheorie. Tatsächlich sind hier alle Prozesse bei denen beispielsweise der Profit maximiert oder der Zeitaufwand minimiert werden soll Anwendungsbeispiele. Um qualitative Antworten auf diese Fragestellungen zu erhalten, wird typischerweise ein passendes mathematisches Modell erarbeitet. Das Ziel dieses Projektes ist es, eine potente Analyse prominenter Aufgabenstellungen in der Optimierung und mathematischen Programmierung und der zugrundeliegenden Theorie aus dem Gebiet der variationellen Analysis bereitzustellen. Genauer gesagt planen wir, Optimierungsprobleme unter zwei Gesichtspunkten zu untersuchen: einerseits Stationäritätskriterien und andererseits Stabiltät und Sensitivität von Lösungen. Einige wichtige Optimierungsprobleme besitzen eine schwer zu behandelnde Struktur. Im Speziellen ist es oftmals nicht klar, wie am besten Optimalitätskriterien erster Ordnung definiert werden sollen, wobei diese die wichtigste Gundlage der Optimierung bilden. Vereinfacht gesagt wissen wir nicht, wonach wir suchen. Es gibt viele unterschiedliche Kriterien von denen jedes sowohl Vorteile als auch grobe Nachteile hat. Um auf unserer vorangegangenen Arbeit aufzubauen, planen wir die vielversprechende Theorie der Q-stationärität zu verbessern. Andererseits gibt es noch viele offene Fragen im Kontext der Stabilität und Sensitivität von Lösungen für sehr einfache Standardfälle der Optimierung, wie zum Beispiel der nichtlinearen Programmierung. Diese Fragen sind häufig verwandt mit aufwändigen Problemen der variationellen Analysis, im Speziellen jener zweiter Ordnung. Mit viel Verständnis und Erfahrung in diesem Gebiet und den ausgezeichneten Möglichkeiten der Kollaborationen planen wir, einiger bedeutender Probleme im Gebiet der Stabilität und Sensitivität von Lösungen Herr zu werden.

Das Projekt dreht sich um herausfordernde mathematische Probleme aus dem Bereich der Variationsanalyse, die als theoretische Grundlage für die Optimierung oder mathematische Programmierung angesehen werden kann - ein sehr lebendiges Gebiet mit unzähligen Anwendungen in den Ingenieur-, Wirtschafts- und Naturwissenschaften, den Datenwissenschaften usw. Während sich die normale mathematische Analyse hauptsächlich mit der Differentialrechnung typischer (einwertiger) Funktionen oder Abbildungen befasst, zielt die Variationsanalyse unter anderem darauf ab, diese zu verallgemeinern, um die so genannten mengenwertigen Abbildungen zu untersuchen - Objekte, auf die man unweigerlich stößt, wenn man sich mit eingeschränkten oder nicht glatten Optimierungsproblemen befasst, die wiederum zentrale Probleme für viele moderne Anwendungen sind. Die Entwicklung eines Kalküls (Regeln für die Berechnung verschiedener verallgemeinerter Ableitungen) für mengenwertige Abbildungen ist eines der Hauptthemen der Variationsanalyse. Ein weiteres wichtiges Gebiet der Variationsanalyse ist die Analyse zweiter Ordnung, die eng mit Fragen der Stabilität von Lösungen von Optimierungsproblemen und damit auch mit numerischen Methoden (Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung, Konvergenzanalyse von Algorithmen, Newton-Methoden). Wir haben einen Beitrag zu diesen beiden Themen geleistet. Erstens haben wir ein vollständiges Verständnis eines bestimmten Berechnungsprinzips geliefert, das stark unterentwickelt war. Wir haben eine völlig neue Annahme identifiziert - eine kontinuitätsartige Eigenschaft von mengenwertigen Abbildungen, die (unscharfe) innere Ruhe* genannt wird - die sowohl ausreichend als auch notwendig für die Gültigkeit dieser Rechenregel ist. Dies hat starke Auswirkungen auf viele andere Kalkülregeln (die wir anschließend abgeleitet haben) und insbesondere auf die Analyse zweiter Ordnung und Stabilitätsfragen (mit denen wir erst begonnen haben, uns zu beschäftigen). Darüber hinaus haben wir Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung für sehr allgemeine Optimierungsprobleme abgeleitet, wobei wir neue Variationswerkzeuge sowie neue Techniken verwendet haben, einschließlich der Kalkulation für zweite Unterableitungen auf der Grundlage der inneren Ruhe*. Wir haben auch verschiedene hinreichende Bedingungen für innere Ruhe* entwickelt, um die Anwendung dieser Eigenschaft zu erleichtern. Schließlich war dieses Projekt äußerst hilfreich für die Anknüpfung neuer Kooperationen für den Hauptforscher und für seine berufliche Entwicklung. In der Tat haben wir intensiv mit P. Mehlitz zusammengearbeitet und eine neue Zusammenarbeit mit R. T. Rockafellar, einem der Begründer und wichtigsten Vertreter der konvexen und Variationsanalyse, aufgebaut. Darüber hinaus haben wir viele weitere Verbindungen in Frankreich, den USA, Kanada, Chile und anderswo geknüpft.