Deifts Problem und Spektraltheorie

Dank seiner Arbeit in Spektraltheorie, Integrablen Systemen und der Theorie zufälliger Matrizen, ist Percy Deift einer der bekanntesten Mathematiker. Bei der Konferenz zu Ehren seines 60. Geburtstags wurde er gefragt eine Liste ungelöster Probleme zu präsentieren. Er hat diese Liste zehn Jahre später erneuert. Das erstgelistete Problem in beiden Fällen ist noch immer folgende Vermutung: die Lösung der KdV Gleichung ist fastperiodisch in Zeit, sobald die gegebenen Anfangsdaten fastperiodisch in Raumrichtung sind. Deift selbst erwähnt einige spektakuläre Resultate bei Binder, Damanik, Goldstein und Lukic [Duke Math. J., 2018] welche eine partielle positive Antwort auf gegebene Vermutung liefern. Wir fügen zu dieser Referenz noch unsere aktuellste Arbeit hinzu [Trans. Amer. Math. Soc., 2019]. Unabhängig dessen ist die Haupthypothese des aktuellen Projekts die folgende: es existiert eine beliebig glatte fast periodische Anfangsbedingung, sodass die Lösung der KdV-Gleichung nicht fastperiodisch in Zeitrichtung ist. Natürlicherweise ist dieses Ziel sehr ambitioniert, da es eine Fragestellung behandelt, welche von einem führenden Experten unseres Gebietes gestellt wurde. Als geeignete Resultat unseres Projektes würden wir Beiträge zur Entwicklung folgender populärer Gebiete erachten: Spektraltheorie fastperiodischer Operatoren, einschließlich kanonischer Systeme; Asymptotik von Chebyshev Polynomen, einschließlich extremaler Probleme auf Cantormengen; Jegliche umfassende Theorie in diese Richtung würde große Beachtung unter der internationalen mathematischen Gemeinschaft erfahren. Wir haben eine ziemlich ausgearbeiteten Plan für die Lösung des Problems auf der Deift Liste. Es basiert auf einer neuen Theorie reflektionsloser Operatoren, welche wir in einer gemeinsamen Arbeit mit Volberg [Invent. Math. 2014] in Zusammenhang mit der Kotani Vermutung entwickelt haben. Wir fanden eine gewisse analytische Bedingung (DCT) an das Resolventengebiet, welche als Kriterium für Fastperiodizität für generische Widom Gebiete verwendet werden kann: falls DCT in dem Gebiet gilt, dann sind alle reflektionslosen Potentiale fastperiodisch, und falls es nicht gilt, dann sind alle reflektionslosen Potential nicht fastperiodisch. In diesem Projekt präsentieren wir fundierte Argumente, welche folgende Hypothese unterstützen: es existieren degenerierte Gebiete, in welchen DCT nicht gilt, sodass sich unter den reflektionslosen Potentialen auchein fastperiodisches befindet. Durch hinzufügen einer gewissen Stabilitätseigenschaft für solche Gebiete, nach einem Volberg-Yuditskii Argument, würden wir eine Lösung der KdV Gleichung erhalten, welche bei fastperiodische Anfangsbedingung nicht fastperiodisch in Zeitrichtung ist.

Dies ist ein Bericht über ein zweijähriges Forschungsprojekt. Das Projekt war einem sehr ehrgeizigen Ziel gewidmet, das Deift-Problem Nummer eins in der Theorie integrierbarer Systeme zu lösen. Definitiv wirkt sich die Pandemiesituation auf seine Leistung aus: Alle gegenseitigen Besuche wurden abgesagt, ebenso wie eine Sonderkonferenz, die viele Schlüsselspezialisten für Spektral- und Approximationstheorien und verwandte Bereiche der Funktions- und Harmonischen Analyse nach Linz bringen sollte. Aus diesem Grund konzentrieren wir uns im ersten Jahr auf ein eng verwandtes, aber weniger ambitioniertes Problem, dessen Umsetzung mit einer auf Zoom und Skype beschränkten Kommunikation realistischer war. Ende der 90er Jahre fanden Sodin und Yuditskii eine geschlossene bis optimale Bedingung für eine Beschreibung fast periodischer Jacobi-Matrizen mit absolut kontinuierlichem Spektrum. Dieses Ergebnis fand breite Anerkennung. Gleichzeitig beschrieben sie fast periodische 1-D-Schrödinger-Operatoren mit ähnlichen Eigenschaften. Die oben erwähnten kontinuierlichen Systeme erforderten jedoch zusätzliche spektrale Beschränkungen in Bezug auf Anhäufungen des Spektrums im Unendlichen, sogenannte endliche Lückenlängenbedingungen. Beachten Sie, dass Christiansen, Simon, Yuditskii und Zinchenko diese Theorie übernommen haben, um die Asymptotik von Tschebyscheff-Polynomen zu beschreiben [Duke Math. J. 2019], während das Problem einer parallelen allgemeinen Theorie für kontinuierliche Systeme offen blieb. Nach Potapov und de Branges muss diese Theorie kanonische Systeme beschreiben, jedoch wurde das Konzept der Fast-Periodizität erst mit dem Erscheinen der neueren Ideen von Ch. Remling. Dieser Idee folgend haben wir in Zusammenarbeit mit R. Bessonov und M. Lukic bewiesen, dass kanonische Systeme in Arov-Eichung alle erforderlichen Eigenschaften besitzen (insbesondere haben wir das Konzept der Fast-Periodizität für solche Systeme eingeführt). Bereits als Folge dieses allgemeinen Ergebnisses fanden wir zusätzliche spektrale Bedingungen, die erforderlich sind, um nahezu periodische Schrödinger- und Dirac-Operatoren und kanonische Systeme in der Potapov- de-Branges-Eichung zu haben, was in den vorherigen Untersuchungen üblich war. Im zweiten Jahr wurde klar, dass sich die Pandemiesituation nicht verbessern wird, also konzentrieren wir uns auf das Deift-Problem und koordinieren die gegenseitigen Bemühungen in Zoom-Kontakten. In dieser Zeit schloss sich A. Volberg unserer Forschungsgruppe an (Damanik, Milivoje, Yuditskii). Ein ausführlicher Bericht mit bewiesenen Theoremen und noch offenen Vermutungen wird in einem gemeinsamen Manuskript "The Deift conjecture: a program to construct a counterexample", arXiv:2111.09345 präsentiert. Aufgrund einer Pensionierung des Projektleiters wurde die Bearbeitung des Problems eingestellt. Insbesondere die in der Projektarbeit gefundene Methode der infinitesimalen Variationen von Gratdomänen wurde erfolgreich zur Lösung des bekannten Andrievsky-Problems in der Approximationstheorie angewendet.