Multiphysikalische Formoptimierung für Elektrische Maschinen

Elektrische Maschinen sind ein wichtiger Teil unseres täglichen Lebens. Je nach Anwendung soll die Maschine so ausgelegt werden, dass gewisse Kriterien wie etwa eine hohe Laufruhe oder ein hohes mittleres Drehmoment, welche in einem Zielfunktional kodiert sind, möglichst gut erfüllt werden. Diese Kriterien hängen vom Magnetfeld innerhalb des Motors ab, welches auch von der Geometrie des Motors abhängt. Das Ziel dieses Projekts ist es, unter Berücksichtigung einiger zusätzlicher Aspekte, auf effiziente Weise die optimale Form gewisser Teile des Elektromotors bezüglich eines gegebenen Zielfunktionals zu bestimmen. Das Magnetfeld im Motor entsteht einerseits durch den elektrischen Strom, der in den Spulen des Motors induziert wird, und andererseits durch Permanentmagneten im Motor. Die Eigenschaften dieser Magneten hängt von der aktuellen Temperatur ab. Umgekehrt wirkt das Magnetfeld (die sogenannten Wirbelströme) auch als Wärmequelle. Des Weiteren ist auch das mechanische Verhalten wichtig. So erzeugen einerseits die thermische Ausdehnung infolge der Erwärmung, und andererseits die Rotation der Maschine Kräfte, die auf die Maschine wirken und zu Verformungen oder Bruch führen können. Es besteht also eine Kopplung zwischen elektromagnetischen, thermischen und mechanischen Feldern, welche mathematisch durch ein gekoppeltes System zeitabhängiger partieller Differenzialgleichungen beschrieben wird. Ziel des Projekts ist es nun, die Gestalt der Maschine zu finden, die optimal hinsichtlich eines gegebenen Zielfunktionals ist. Weitere Kriterien können in Form von Nebenbedingungen in das Optimierungsproblem aufgenommen werden. Eine wichtiges Kriterium ist, dass maximale durch die auf die Maschine wirkenden Kräfte entstehenden mechanischen Spannungen einen Maximalwert nicht übersteigen. Diese Aufgabenstellung ist mathematisch besonders herausfordernd, da das zugehörige Funktional nicht differnzierbar ist. Im Laufe des Optimierungsalgorithmus wird eine gegebene Anfangsgeometrie basierend auf analytisch berechneten Sensitivitäten sukzessive verbessert bis ein lokal optimales Design erreicht wird. Hierbei wird das zeitabhängige Differenzialgleichungssystem sehr oft numerisch gelöst werden, was eine effiziente Lösungsstrategie unabdingbar macht. Bei Raum-Zeit-Verfahren wird die Zeitvariable einfach als zusätzliche Ortsvariable betrachtet und somit ein zweidimensionales zeitabhängiges Problem als dreidimensionales statisches Problem interpretiert. Auf diese Weise ist eine Parallelisierung der Berechnungen nicht nur in den Ortsvariablen, sondern auch in Zeitrichtung ermöglicht, was bei Verwendung vieler Prozessoren zu einer enormen Reduktion der Rechenzeit führen kann.

Elektrische Maschinen - darunter Motoren und Generatoren - spielen eine zentrale Rolle in der modernen Gesellschaft. Sie wandeln elektrische Energie in mechanische Energie oder umgekehrt um und sind für mehr als die Hälfte des weltweiten Stromverbrauchs verantwortlich. Angesichts dieser bedeutenden Rolle ist die Steigerung der Effizienz elektrischer Maschinen entscheidend für das Erreichen globaler Klimaziele. Traditionelle Entwurfsverfahren für elektrische Maschinen basieren darauf, eine Ausgangskonfiguration auszuwählen und bestimmte Parameter wie Radien, Winkel oder Breiten anzupassen. Solche Ansätze schränken jedoch die Vielfalt der erreichbaren Designs ein. In diesem Projekt wurden mathematische Methoden auf der Grundlage der freiformbasierten Formoptimierung entwickelt, um die Gestalt elektrischer Maschinen deutlich flexibler anpassen zu können. Auf diese Weise können besonders leistungsfähige Designs entdeckt werden, die mit herkömmlichen Methoden möglicherweise nicht gefunden worden wären. Wir haben neue mathematische Theorien und numerische Verfahren zur Optimierung der Form elektrischer Maschinen entwickelt, wobei ein Schwerpunkt auf zeitabhängigen Phänomenen wie Wirbelströmen lag. Diese Ströme können zu unerwünschter Erwärmung im Inneren der Maschine führen und dadurch Materialien schädigen. Die Maschinen wurden in zwei räumlichen Dimensionen über die Zeit modelliert, was zu einem dreidimensionalen Raum-Zeit-Zylinder führte. Auf diesem wurden die elektromagnetischen Gleichungen mithilfe der Raum-Zeit-Finite-Elemente-Methode gelöst. Da elektrische Maschinen üblicherweise rotierende Bauteile enthalten, wurden die Methoden erweitert, um auch bewegte Geometrien zu berücksichtigen. Ein zentrales Element des Optimierungsprozesses war die Berechnung der Formableitung, welche beschreibt, wie sich die Leistungsfähigkeit bei kleinen Deformationen der Geometrie verändert. Die Berechnung dieser Ableitung sowie das numerische Optimierungsverfahren wurden an die spezielle, zeitabhängige Situation unter Bewegung angepasst, wodurch sich diese Ansätze auch auf andere Ingenieursanwendungen übertragen lassen. Neben elektromagnetischer und thermischer Effizienz ist die mechanische Stabilität von entscheidender Bedeutung. Maschinen, die mit mehreren tausend Umdrehungen pro Minute rotieren, sind erheblichen mechanischen Belastungen ausgesetzt. Designs, die ausschließlich auf Effizienz oder thermisches Verhalten hin optimiert werden, können strukturell instabil werden. Um diesem Problem zu begegnen, wurde im Projekt die Minimierung der maximalen mechanischen Spannungen innerhalb der Struktur behandelt. Diese Aufgabe stellte eine besondere Herausforderung dar, da die maximale Spannung eine nicht-glatte Funktion ist und spezielle mathematische Methoden jenseits der klassischen Optimierung erfordert. Abschließend wurden Methoden entwickelt, um nicht nur Designs zu finden, die bezüglich einer Kenngröße optimal sind, sondern eine Menge von Designs - sogenannte Pareto-Mengen - zu bestimmen, die bestmögliche Kompromisse zwischen mehreren Kriterien wie Effizienz, Kosten oder mechanischer Stabilität darstellen. Im Gegensatz zu herkömmlichen industriellen Vorgehensweisen, bei denen eine große Anzahl von Designs ausgewertet wird, wurden ableitungsbasierte Verfahren untersucht, die diese Mengen mit deutlich geringerem Rechenaufwand erschließen können. Die Ergebnisse dieses Projekts können zur Entwicklung elektrischer Maschinen beitragen, die effizienter, langlebiger und umweltfreundlicher sind.