Multikomponenten-Systeme mit unvollständiger Diffusion

Die Natur besteht hauptsächlich aus Mischungen mehrerer Arten oder Teilchen. Beispiele sind Gasgemische wie Luft, Ionentransport durch Zellmembranen und die Segregation von Tierpopulationen. Frühere wissenschaftliche Untersuchungen konzentrierten sich hauptsächlich auf mathematische Modelle für einzelne Spezies, da Mehrkomponentensysteme ein sehr komplexes Verhalten zeigen, das schwer vorherzusagen oder zu kontrollieren ist. Die jüngsten Fortschritte in der Mathematik von Mehrkomponentensystemen ermöglichen es, mathematische Modelle für mehrere Arten zu berücksichtigen. Die Idee lautet, die neuesten Techniken der mathematischen Strömungslehre mit thermodynamischen Prinzipien und sogenannten Entropieverfahren zu kombinieren. Im Mittelpunkt dieses Projekts steht die Untersuchung mathematischer Modelle mit Diffusion, die beispielsweise die unregelmäßige Bewegung von Tieren oder Bakterien zum Ausdruck bringt. In Anwendungen zeigen viele Systeme keine vollständige Diffusion, sondern auch Transportphänomene ohne jegliche Diffusion in dieser Richtung. Wir sagen, dass diese Systeme eine unvollständige Diffusion haben. Für solche Systeme können keine mathematischen Standardmethoden verwendet werden, und das Ziel des Projekts ist die Entwicklung neuer Techniken, die in der Lage sind, mit Systemen mit unvollständiger Diffusion umzugehen.

Das Projekt befasste sich mit Diffusionsphänomenen in Systemen mit mehreren Spezies wie Gasgemischen, Ionentransport in biologischen Kanälen und Segregation in Tierpopulationen. Diese Phänomene können durch diffusive und viskose partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. Ein wesentliches Merkmal ist, dass die Diffusion dieser Modelle unvollständig ist, was bedeutet, dass Teile der Gleichungen vom Diffusionstyp (parabolisch) sind, während andere Teile vom Transporttyp (hyperbolisch) sind. Folglich haben die Lösungen nicht die üblichen Regularitätseigenschaften von parabolischen Gleichungen. Daher müssen neue mathematische Techniken entwickelt werden, um den Verlust der Parabolizität zu kompensieren. - In diesem Projekt haben wir zwei Modellklassen analysiert. Die erste Modellklasse beschreibt wärmeleitende Flüssigkeitsgemische mit Maxwell-Stefan-Diffusion. Mittels Anwendung konvexer freier Energietechniken und der Ausnutzung thermodynamischer Konsistenz wurde die Existenz einer schwachen Lösung des stationären Navier-Stokes-Fourier-Systems bewiesen. Die unvollständige Diffusion wurde durch die Bedingung endlicher Teilchengrößen (volume-filling) kompensiert. Diese Bedingung taucht auch in anderen Modellen wie den volumenfüllenden Nernst-Planck-Gleichungen für den Ionentransport auf. Wir haben die globale Existenz von schwachen Lösungen und eine schwach-starke Eindeutigkeitseigenschaft bewiesen. Darüber hinaus half uns das Verständnis der thermodynamischen Prinzipien bei der Entwicklung einer mathematischen Theorie für zeitabhängige nicht-isotherme Maxwell-Stefan-Gleichungen. - Die zweite Modellklasse besteht aus Gleichungen der Massenerhaltung mit Geschwindigkeiten, die durch den nichtlinearen Druckgradienten nach dem Darcy-Gesetz gegeben sind. Sie wurden von Busenberg und Travis vorgeschlagen, um segregierende Populationen zu modellieren. Wir haben unter recht allgemeinen Bedingungen die globale Existenz von maßwertigen Lösungen und eine schwach-starke Eindeutigkeitseigenschaft bewiesen. Eine neue hyperbolisch-parabolische Normalenform führt zu einem besseren Verständnis dieser Modelle. Überraschenderweise besitzen die Busenberg-Travis-Gleichungen zwei mathematische Entropien (normalerweise gibt es nur eine), nämlich die in der Thermodynamik bekannte Boltzmann-Entropie und die Rao-Entropie, die die Vielfalt der Arten beschreibt. Die Boltzmann-Entropie ergibt sich aus der thermodynamischen Fluidentropie, während die Rao-Entropie mit der kinetischen und potentiellen Energie in Verbindung gebracht werden kann. Die Fluidapproximation wurde mathematisch rigoros bewiesen, indem regularisierende Korteweg-Terme einbezogen wurden. - Das Hauptergebnis des Projekts ist ein verbessertes Verständnis dafür, wie thermodynamische Eigenschaften und mathematische Techniken für Diffusions- und Flüssigkeitsmodelle miteinander verflochten sind. Die unvollständige Diffusion wurde erfolgreich durch physikalische Volumenfüllungsbeschränkungen oder mathematisch hyperbolische Struktureigenschaften kompensiert.