Isogeometrische Analyse mit C1-glatten Funktionen

Spline-Flächen und Volumen sind zwei nützliche Werkzeuge zur geometrischen Modellierung sowie zur numerischen Analysis von Bauteilen, die in den unterschiedlichsten Ingenieurbereichen (z.b. Automobilindustrie, Bauwesen und Maschinenbau) verwendet werden. Beide Konstruktionen werden genutzt um dreidimensionale Objekte zu beschreiben. Spline-Flächen ermöglichen dünnwandige Bauteile, die sogenannten Schalen, zu modellieren. Beispiele von Schalen sind unter anderem Karosserien von Kraftfahrzeugen in der Automobilindustrie oder Wände und Dächer im Bauwesen. Das Konzept der Schalen basiert auf der Grundlage die dünnen dreidimensionalen Objekte durch die einfacheren nur zweiparametrischen Darstellungen der Flächen zu beschreiben. Im Unterschied dazu verkörpern Spline- Volumen dicke dreidimensionale Objekte und können auch das innere dieser Gegenstände beschreiben, benötigen aber eine kompliziertere dreiparametrische Darstellung. Beispiele von Volumen sind unter anderem Flüssigkeiten in der Strömungsmechanik. Das Ziel dieses Projektes ist die numerische Analysis von komplexen, realen Schalen und Volumen. Diese Objekte können im Allgemeinen nicht durch ein einzelnes Flächen- bzw. Volumenstück modelliert werden. Stattdessen werden sogenannte Multi-Patch Konstruktionen benötigt, die aus zahreichen einzelnen Flächen- bzw. Volumenstücken bestehen. Für die numerische Analysis dieser Objekte verwenden wir eine neuartige und innovative Simulationstechnik, genannt Isogeometrische Analysis, die eine Verknüpfung zwischen der geometrischen Modellierung sowie der numerischen Analyse von Schalen und Volumen erlaubt. Diese Charakteristik der Isogeometrischen Analysis ist in der Entwicklung von Bauteilen sehr vorteilhaft und fehlt bei den klassischen Simulationstechniken, wo beide Schritte getrennt ausgeführt werden müssen. Durch die Verwendung der Isogeometrischen Analysis ist es nun unter anderem möglich die Formoptimierung der Schalen und Volumen zu verbessern sowie eine effizientere numerische Analysis dieser Bauteile zu erzielen. In diesem Projekt entwickeln wir die Theorie und die Methoden um Isogeometrische Analysis für komplexe Schalen und Volumen betreiben zu können. Das beinhaltet unter anderem die passende mathematische Beschreibung für die Schalen und Volumen, die Konstruktion der benötigten Funktionen für die numerische Analysis sowie die Entwicklung von entsprechenden Algorithmen zur Isogeometrischen Analysis. Des Weiteren planen wir die Implementierung aller Methoden in die Open Source Software Bibliothek G+Smo (http://gs.jku.at).

Ein Forschungsschwerpunkt unseres Projekts lag in der Entwicklung von Methoden zur numerischen Analysis von komplexen, dünnwandigen Bauteilen, den sogenannten Schalen, die in den unterschiedlichsten Ingenieurbereichen (z.b. Automobilindustrie, Bauwesen und Maschinenbau) verwendet werden. Beispiele von Schalen sind dabei unter anderem Karosserien von Kraftfahrzeugen in der Automobilindustrie oder Wände und Dächer im Bauwesen. Das Konzept der Schalen basiert nun auf der Grundlage die dünnen, dreidimensionalen Objekte durch einfachere nur zweiparametrische Darstellungen, den sogenannten Flächen, zu beschreiben. Dabei spielen insbesondere Spline-Flächen, die ein gebräuchliches und nützliches Werkzeug zur geometrischen Modellierung sowie zur numerischen Analysis von zweiparametrischen Objekten darstellen, eine wichtige Rolle. Jedoch können komplexe Schalen im Allgemeinen nicht durch ein einzelnes Spline-Flächenstück modelliert werden und benötigen stattdessen sogenannte Multi-Patch Spline-Konstruktionen, die aus zahlreichen einzelnen Spline-Flächenstücken bestehen. Für die numerische Analysis der Multi-Patch Schalen verwendeten wir nun im Rahmen des Projekts die sogenannte Isogeometrische Analysis, die eine Verknüpfung zwischen der geometrischen Modellierung sowie der numerischen Analysis von Schalen erlaubt, und somit eine schnelle und effiziente Formoptimierung der dünnwandigen Bauteile ermöglicht. Die numerische Analysis der komplexen Schalen basiert auf das Lösen einer partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung. Durch die hohe Ordnung der partiellen Differentialgleichung sowie durch die Multi-Patch Beschreibung der Schalen war es notwendig eine neuartige, passende mathematische Beschreibung für die Schalen, neue Funktionen für die numerische Analysis sowie entsprechende Algorithmen zur Isogeometrischen Analysis der Schalen zu entwickeln. Weitere Forschungsergebnisse beinhalteten unter anderem die Weiterentwicklung des isogeometrischen Verfahrens zu einem adaptiven Schema, welches durch eine deutlich reduzierte Anzahl der benötigten Freiheitsgrade eine weitere Steigerung der Effizienz in der numerischen Analysis der Schalen ermöglichte, sowie die Entwicklung von Funktionen für das Lösen partieller Differentialgleichungen von noch höherer Ordnung. Neben komplexen Multi-Patch Schalen beschäftigten wir uns im Rahmens Projekts auch mit Multi-Patch Spline-Volumen. Dabei verkörpern Spline-Volumen dicke dreidimensionale Objekte und können auch das innere dieser Gegenstände beschreiben, benötigen aber im Vergleich zu Schalen eine kompliziertere dreiparametrische Darstellung. Beispiele von Volumen sind unter anderem Flüssigkeiten in der Strömungsmechanik. Ein Forschungsthema in diesem Bereich war die Entwicklung von Funktionen, die für das Lösen von partiellen Differentialgleichungen vierter Ordnung über diesen Multi-Patch Spline-Volumen geeignet sind.