Charaktersummen, L- Funktionen und Ihre Anwendungen

Die Theorie der Zeichensummen und L-Funktionen begann mit Dirichlets Beweis der Gle- ichverteilung von Primzahlen in arithmetische Progressionen. Diese Konzepte haben sich all- gemein erweitert und sie haben in vielen arithmetischen Problemen Angewendungen gefunden. Beispielsweise Schranken für kurze Zeichensummen implizieren Schätzungen für den kleinsten quadratischen Rest. Hauptsächlich die derzeit bekanntesten obere Schranken entsprechen das Ergebnis von Burgess in 1957. Einige Verfeinerungen und Verallgemeinerungen seines Ergeb- nisses brachten den Begriff der multiplikativen Energie ins Bild. Die additiven Kombinatorik entwickelt sich gerade viel und bietet neue Werkzeuge um diese Notion zu untersuchen. Außer- dem wurden die verbundenen größte gemeinsame Teiler (GGT)-Summen in letzter Zeit wegen des Zusammenhangs mit Extremwerten der Riemannschen Zetafunktion und allgemeiner Ex- tremwerten von L -Funktionen intensiv untersucht. Ursprünglich hatten GGT-Summen auch interessante Anwendungen in der metrischen Theorie der diophantischen Approximationen. Dieses Projekt befasst sich mit analytischen und kombinatorischen Fragestellungen. In der Zwischenzeit planen wir, weitere Anwendungen von Zeichensummen in zahlentheoretischen Prob- lemen zu entwickeln. Wir untersuchen Optimierungsprobleme mit GGT-Summen und der mul- tiplikativen Energie, die in unserer jüngsten Arbeit mit de la Bretèche und Tenenbaum ent- standen sind. Wir entdeckten natürliche Anwendungen für Charaktersummen sowie das Nicht- Verschwinden Modulformen. Unser Ziel ist es, neue Techniken zu entwickeln, die sich zur Lösung solcher Fragen eignen, und die Optimierungsprobleme der Gegenstücke in anderen Situationen genau zu formalisieren: quadratische Zeichen, Hecke Spitzenform, endlicher Körper, . . . Ein weit- eres verwandtes Thema dieses Projekts ist die Untersuchung verallgemeinerter Sidon-Mengen. Ein Ziel des Projektes ist neue deterministische und probabilistische Konstruktionen Sidon Teil- mengen zu erhalten. Darüber hinaus sollen verschiedene Arten von GGT-Summen mit Methoden der additiven Kombinatorik untersucht und Anwendungen werden auf dem Gebiet der metrischen Theorie der diophantischen Approximationen gesucht. Ein weiterer Projektschwerpunkt sind die analytischen Eigenschaften von L -Funktionen und automorphe Formen. Einige Probleme, wie Extremwerten von L -Funktionen und Momente von L -Funktionen, werden unter Verwen- dung früherer Techniken und potenziell neuer effizienter Methoden betrachtet. Wir planen auch Nullstellen von Fekete-Polynomen und andere verbundene Probleme mithilfe probabilistischer Techniken zu untersuchen. 1

Während des Projekts habe ich mehrere Fortschritte bei Fragen im Zusammenhang mit Zeichensummen und L-Funktionen gemacht, die im Vorschlag erwähnt wurden, sowie neue Fragen, die später aufkamen. Um es für einen Nichtfachmann kurz zusammenzufassen: Diese Funktionen kodieren sehr genau die Verteilung der Primzahlen. In einer Arbeit mit S. Louboutin haben wir eine Frage von E. Elma über den Durchschnittswert dieser Funktionen über bestimmte Untergruppen von Dirichlet-Zeichen gelöst. Unsere Methode verwendet sowohl neuere Ergebnisse über die Verteilung von Zeichen Summen und Techniken aus gleichmäßigen Verteilung. Diese Frage hat wichtige Anwendungen, um die so genannte Klassenzahl zu schätzen, eine Größe, die das Scheitern der eindeutigen Faktorisierung in einem Kontext misst, der die klassischen ganzen Zahlen verallgemeinert. Zu einem anderen Thema habe ich zusammen mit C. Aistleitner und D. El-Baz zwei Arbeiten über die lokale Statistik von Sequenzen (Paarkorrelation und minimale Lücken) geschrieben. Diese Fragen stammen ursprünglich aus der Quantenmechanik, wo die Abstände der Energieniveaus von integrierbaren Systemen untersucht wurden. Letztlich geht es darum zu zeigen, dass sich bestimmte deterministische Sequenzen mit Primzahlen oder Quadraten im Wesentlichen wie eine Zufallssequenz verhalten. In unserer Arbeit haben wir Methoden aus der analytischen Zahlentheorie wie L-Funktionen verwendet, um diese scheinbar nicht verwandten Probleme anzugehen. Wir formulieren eine Reihe von Problemen und Vermutungen, die bereits zu weiteren Forschungen in der Literatur geführt haben. In einem Artikel mit de la Bretèche und Tenenbaum haben wir eine Frage zu Sequenzen gelöst, die eine bestimmte Größe minimieren, die durch die größten gemeinsamen Teiler definiert ist. Es stellte sich heraus, dass es Anwendungen in anderen Bereichen der Mathematik gibt, wie zum Beispiel modulare Formen.