Skalierungsgrenzen in zufälliger konformer Geometrie

Ziel des Projekts ist es, geometrische Eigenschaften bestimmter zufälliger Strukturen in der Ebene zu untersuchen. Diese Strukturen sind als Modelle in der theoretischen Physik von hohem Interesse, aber mindestens ebenso dadurch motiviert, dass es sich um fundamentale, universelle mathematische Objekte handelt. Das entscheidende Merkmal dieser Strukturen ist ihre erwartete konforme Invarianz, dh die Invarianz unter Verformungen der Ebene, die lokal Winkel erhalten. Ein Beweis dieser Eigenschaft sollte über die Theorie der Schramm-Löwner-Evolution eine Beschreibung ihrer entsprechend skalierten Grenzobjekte freischalten. In diesem Projekt wird untersucht, wie bestimmte Zufallssysteme unter entsprechender Skalierung im Grenzwert konforme Invarianz erreichen und wie die inhärente Zufälligkeit dieser Systeme mit der entsprechenden konformen Geometrie interagiert. Wir werden auf einigen bemerkenswerten Entwicklungen der letzten Jahre aufbauen, insbesondere im Zusammenhang mit der Liouville-Quantengravitation und allgemeiner der Untersuchung von konform invarianten Zufallsprozessen in der Ebene - insbesondere des Gaußschen freien Feldes, einer zufälligen verallgemeinerten Funktion, die in einem beliebigen Bereich der Ebene definiert werden kann. Wir konzentrieren uns auf zwei miteinander verbundene Aspekte dieser Frage: Einerseits die Liouville-Brownsche Bewegung, die eine kanonische Variante von Diffusion für Liouville- Quantengravitation darstellt; und andererseits das Dimermodell, ein klassisches Modell der statistischen Mechanik, das einer zufälligen Kachelung entspricht und dessen begrenzende konforme Struktur von der sogenannten imaginären Geometrie bestimmt wird, die Schramm- Löwner-Evolution mit dem freien Gaußschen Feld in Beziehung setzt.

Ziel des Projekts ist es, geometrische Eigenschaften bestimmter zufälliger Strukturen in der Ebene zu untersuchen. Diese Strukturen sind als Modelle in der theoretischen Physik von hohem Interesse, aber mindestens ebenso dadurch motiviert, dass es sich um fundamentale, universelle mathematische Objekte handelt. Das entscheidende Merkmal dieser Strukturen ist ihre erwartete konforme Invarianz, dh die Invarianz unter Verformungen der Ebene, die lokal Winkel erhalten. Ein Beweis dieser Eigenschaft sollte über die Theorie der Schramm-Löwner-Evolution eine Beschreibung ihrer entsprechend skalierten Grenzobjekte freischalten. In diesem Projekt wird untersucht, wie bestimmte Zufallssysteme unter entsprechender Skalierung im Grenzwert konforme Invarianz erreichen und wie die inhärente Zufälligkeit dieser Systeme mit der entsprechenden konformen Geometrie interagiert. Wir werden auf einigen bemerkenswerten Entwicklungen der letzten Jahre aufbauen, insbesondere im Zusammenhang mit der Liouville-Quantengravitation und allgemeiner der Untersuchung von konform invarianten Zufallsprozessen in der Ebene - insbesondere des Gaußschen freien Feldes, einer zufälligen verallgemeinerten Funktion, die in einem beliebigen Bereich der Ebene definiert werden kann. Wir konzentrieren uns auf zwei miteinander verbundene Aspekte dieser Frage: Einerseits die Liouville-Brownsche Bewegung, die eine kanonische Variante von Diffusion für Liouville-Quantengravitation darstellt; und andererseits das Dimermodell, ein klassisches Modell der statistischen Mechanik, das einer zufälligen Kachelung entspricht und dessen begrenzende konforme Struktur von der sogenannten imaginären Geometrie bestimmt wird, die Schramm-Löwner-Evolution mit dem freien Gaußschen Feld in Beziehung setzt.