Positivitätsstrukturen in Quantenvielteilchensystemen

Um sehr kleine physikalische Systeme beschreiben zu können, wie zum Beispiel Atome und Elektronen, benutzt man in der Physik die Quantentheorie. Diese Theorie funktioniert sehr gut wenn man sehr wenige Systeme hat, zum Beispiel weniger als zwanzig, aber danach wird es sehr schnell sehr kompliziert. Dann gibt es so viele Variablen, dass man nichts berechnen oder vorhersagen kann. Glücklicherweise sind Atome, Elektronen, und andere Quantensysteme normalerweise in sehr besonderen Zuständen. Das ist so, weil physikalische Wechselwirkungen lokal sind, das heißt, dass ein Atom oder ein Elektron normalerweise nur mit seinen Nachbarn interagiert. Daraus folgt, dass man diese Zustände mit wenigen Variablen beschreiben kann. Diese Idee ist sehr nützlich gewesen, um idealisierte Quantenzustände zu beschreiben (sogennante reine Zustände) zum Beispiel, Systeme am absoluten Nullpunkt, oder wenn man den Zustand des Systems genau kennt. Für nicht idealisierte Zustände (sogennante gemischte Zustände) ist es schwieriger, die Idee der Lokalität zu benutzen. Das Hauptproblem ist Folgendes. Einerseits ist der Zustand positiv, da diese Bedingung sicherstellt, dass Wahrscheinlichkeiten von Meßergebnissen positiv sind. Andererseits beinhaltet Lokalität, dass lokale Beschreibungen des Zustands wenige Variablen benötigen. Und man kann diese zwei Bedingungen (Positivität und Lokalität) nicht gleichzeitig erfüllen: zwingt man die Positivität in der lokalen Beschreibung, so muss man mit vielen Variablen rechnen. Erlaubt man der lokalen Beschreibung negativ zu sein, so verliert man die Übersicht über die Positivität des Zustands. Glücklicherweise taucht dieses Problem nicht nur in der Quantentheorie auf, sondern auch in mehreren Bereichen der Mathematik und Datenanalyse. Eigentlich taucht es immer auf, wenn die Positivität mit der Lokalität interagiert. In diesem Projekt werden wir diese Verbindungen zu anderen Bereichen ausnutzen, um lokale Beschreibungen von gemischten Zuständen weiterzuentwickeln. Insbesondere werden wir uns auf die folgenden drei Aspekten fokusieren. Erstens könnte dieses Problem im annährendem Fall einfacher sein. Das heißt, wenn wir mit einem Zustand zufrieden sind, der nah am exakten Zustand ist, dann könnte es lokale positive Beschreibungen geben, die nicht zu viele Variablen benutzen. Zweitens werden wir die rechnerische Komplexität dieses Problems untersuchen. Die rechnerische Komplexität untersucht, wie schwierig es ist, ein Problem mit einer Maschine zu lösen manche können schnell gelöst werden, weil es einen guten Algorithmus gibt, andere brauchen eine sehr lange Zeit, und andere kann man nicht lösen (sie sind unberechenbar). Mit dieser Perspektive auf das Positivtätsproblem werden wir Einsicht bekommen, was machbar oder schwierig ist. Schließlich werden wir das Positivitätsproblem in Anwesenheit von Symmetrien untersuchen. Symmetrien sind sehr wichtig in der Physik, da sie mit Erhaltungsgesetzen verbunden sind. Symmetrische Systeme sind einfacher zu beschreiben, da sie wenige Variablen haben. Aber der Versuch eine lokale Darstellung der Positivtät und der Symmetrie zu entwickeln führt zu vielen interessanten Problemen, die wir auch erforschen werden.

Die Quantentheorie sagt die Ergebnisse von Observablen auf Quantenzuständen voraus. Observablen kann man sich als Fragen vorstellen, etwa: "Befindet sich das Quantensystem an dieser Stelle?" Quantenzustände sind etwas, das uns diese Antworten geben kann - allerdings nur probabilistisch. Es ist unklar, ob Quantenzustände die Realität, unseren Wissensstand oder beides repräsentieren. Observablen haben jedoch eine komplizierte mathematische Beziehung zu Quantenzuständen, im Wesentlichen deshalb, weil man Observablen addieren oder subtrahieren kann, Quantenzustände jedoch nur addieren. Wenn ein System aus vielen Teilen besteht, lässt sich die Beziehung des Ganzen kaum durch Beziehungen der Teile ausdrücken. Darüber hinaus hängt die Beziehung von der inneren Dimension des Quantensystems ab, die mit der Anzahl der unabhängigen Antworten verknüpft ist, die das System geben kann. Ist die innere Dimension eins, erhalten wir die klassische Physik; ist sie größer als eins, handelt es sich um Quantenphysik. Ein Ausflug in die Quantenphysik ist wie das Öffnen einer Tür zu einem neuen Universum, das nicht-kommutativ ist, da Observablen und Zustände durch mathematische Objekte dargestellt werden, die nicht kommutieren - A mal B ist nicht dasselbe wie B mal A. Dieses Projekt beleuchtet diese Beziehung aus verschiedenen Perspektiven. Erstens: Stellen wir uns vor, der Quantenzustand hat eine Symmetrie - zum Beispiel ist er auf einem Kreis angeordnet, sodass das Verschieben jedes Systems nach rechts denselben Zustand ergibt. Auch wenn es schwer ist, diese Symmetrie in den einzelnen Systemen zu beobachten, zeigt sich, dass es wesentlich einfacher ist, dies näherungsweise zu tun. Zweitens: Jeder Quantenzustand kann in Form von einfachen "idealen" Quantenzuständen dargestellt werden. Das ist sehr nützlich. Wir betrachten Quantenzustände, die auf einem Gitter angeordnet sind, sodass sie ein "quantum magic square" definieren. Wir stellen fest, dass sie im Gegensatz zu klassischen magischen Quadraten nicht in Form von einfachen oder idealen magischen Quantenquadraten gegeben werden können. Drittens: Eine weitere rätselhafte Tatsache der Quantentheorie ist ihr Rückgriff auf komplexe Zahlen. Wir betrachten die Quantentheorie über noch extravagantere Zahlen, die Hyperkomplexen, und stellen fest, dass wir damit ein lange bestehendes Problem in der Quanteninformationstheorie lösen können. Was dies für die gewöhnliche Quantentheorie bedeutet, ist unklar. Viertens: Wir übernehmen Techniken aus der Informatik, um die Schwierigkeit bestimmter Probleme zu untersuchen. Wir finden heraus, dass es oft schwierig (NP-schwer) ist, Fragen für eine bestimmte Anzahl von Systemen zu stellen, während es für beliebig viele Systeme unlösbar (unentscheidbar) ist. Schließlich betrachten wir die Beziehung für alle inneren Dimensionen gleichzeitig sowie andere Begriffe von Positivität, d. h. von der Addition von Zuständen. Wir verallgemeinern viele Ergebnisse auf andere Begriffe von Positivität. Dies zeigt, inwiefern die mathematische Struktur von Quantenzuständen etwas Besonderes ist. Insgesamt beleuchtet dieses Projekt den mathematischen Reichtum der Quantenwelt im Vergleich zur klassischen Welt.