Numerische Constraints für die Wigner- und Sigmagleichung

Numerische Simulation (Technology Computer-Aided Design, TCAD ) wird bei der Entwicklung von Halbleiter-Bauelementen eingesetzt, um die Anzahl kostspieliger Experimente zu minimieren und die Produkteinführungszeit zu reduzieren. Moderne integrierte Schaltungen basieren auf winzigen Halbleiterstrukturen, deren charakteristische Abmessungen im Nanometer-Bereich liegen. Bei dieser Größenordnung sind Quanteneffekte zu berücksichtigen, da sie das Verhalten der Bauelemente entscheidend mitbestimmen. Eugene Paul Wigner (1902-1995) war ein gebürtig österreich-ungarischer Physiker, der eine mathematische Formulierung der Quantenmechanik entwickelte, die formal einer Beschreibung im klassischen Phasenraum sehr nahesteht. Dieser Formalismus ermöglicht es, mathematische Modelle (Transportgleichungen) zu definieren, die teils klassische und teils quantenmechanische Aspekte beinhalten. Aus diesem Grund ist dieser Formalismus besonders geeignet, um moderne Halbleiter- Bauelemente zu beschreiben. In diesem Projekt werden numerische Methoden für die Lösung der stationären Wignergleichung entwickelt. Diese Gleichung kann etwa dazu verwendet werden, um Strom-Spannungs-Kennlinien von hochminiaturisierten Halbleiter-Bauelementen zu berechnen. Ein häufig verwendetes numerisches Verfahren zur Lösung der Wignergleichung geht auf William Frensley zurück. Ein großer Nachteil dieses Verfahrens ist, dass die Lösung stark von den Parametern der Diskretisierung und insbesondere von der Feinheit des verwendeten Rechengitters abhängt. Im ungünstigsten Fall kann dieses Verfahren auch völlig falsche Ergebnisse liefern. Die Wignergleichung enthält am Nullpunkt der Impulsvariablen (k = 0) eine Singularität. Wir gehen davon aus, dass die Methode von Frensley diese Singularität nicht korrekt behandelt, und dass aus diesem Grund die Methode fallweise unphysikalische Ergebnisse liefert. In diesem Projekt erforschen wir einen neuen Lösungsansatz, der die oben beschriebenen Probleme vermeidet. Zu diesem Zweck ist es nötig, dass man für k = 0 zwei Gleichungen vorgibt. Eine Gleichung beschreibt eine Zwangsbedingung, die sicherstellt, dass die Lösung des Systems für k = 0 nicht singulär, also nicht unendlich wird. Die zweite Gleichung ist dann die eigentliche Transportgleichung für k = 0. Insgesamt wird das Gleichungssystem dadurch überbestimmt. Man hat also mehr Gleichungen als Unbekannte. Ein derartiges Gleichungssystem kann nur näherungsweise gelöst werden. In diesem Projekt wird zuerst die überbestimmte Wignergleichung in einer Raumdimension untersucht und geeignete numerische Lösungsmethoden entwickelt. Danach wird die Methode auf zwei Raumdimensionen erweitert. Ein wichtiger Punkt ist die Wahl geeigneter Randbedingungen. Da die numerische Lösung der Wignergleichung in mehreren Raumdimensionen rechenzeit-intensiv ist, soll das Lösungsverfahren parallelisiert werden.

Numerische Simulation (Technology Computer-Aided Design, TCAD ) wird bei der Entwicklung von Halbleiter-Bauelementen eingesetzt, um die Anzahl kostspieliger Experimente zu minimieren und die Produkteinführungszeit zu reduzieren. Moderne integrierte Schaltungen basieren auf winzigen Halbleiterstrukturen, deren charakteristische Abmessungen im Nanometer-Bereich liegen. Bei dieser Größenordnung sind Quanteneffekte zu berücksichtigen, da sie das Verhalten der Bauelemente entscheidend mitbestimmen. Eugene Paul Wigner (1902-1995) hat eine mathematische Formulierung der Quantenmechanik entwickelt, die formale Ähnlichkeit mit einer Beschreibung im klassischen Phasenraum aufweist. Aus diesem Grund ist dieser Formalismus besonders geeignet, um moderne Halbleiter-Bauelemente zu beschreiben. Ein häufig verwendetes numerisches Verfahren zur Lösung der Wignergleichung geht auf William Frensley zurück. Der Nachteil dieses Verfahrens ist, dass die Lösung stark von den Parametern der Diskretisierung, insbesondere von der Feinheit des verwendeten Rechengitters, abhängt. Im ungünstigsten Fall kann dieses Verfahren auch völlig falsche Ergebnisse liefern. In diesem Projekt wurde die Ursache für das Versagen dieses Lösungsverfahrens identifiziert und zwei unterschiedliche, stabile Verfahren entwickelt. Dabei wird auch die zur Wignergleichung äquivalente von Neumangleichung in einem gedrehten Koordinatensystem, auch sigma-Gleichung genannt, verwendet. Letztere ist für numerische Berechnungen besonders vorteilhaft, weil die Systemmatrix nur spärlich besetzt ist. Das Besondere an diesen Gleichungen ist, dass sie überbestimmt sind: Im Fall der Wignergleichung erhält man für die Nullgeschwindigkeit zwei Gleichungen anstatt nur einer, im Fall der sigma-Gleichung zwei Randbedingungen, obwohl die Gleichung nur eine Randbedingung zulässt. Ein hier entwickelter Ansatz verwendet sogenannte Einström-Randbedingungen anstatt der ursprünglichen Dirichlet-Randbedingungen. Ein zweiter Ansatz löst das Gleichungssystem näherungsweise mit einem Ausgleichsverfahren, wobei die Randbedingungen in Form von Nebenbedingungen exakt erfüllt werden. Ein drittes Verfahren, welches kürzlich von einer anderen Gruppe unabhängig entwickelt wurde, verwendet das Konzept der absorbierenden Schichten, um die Randbedingungen zu erfüllen, und wurde ebenfalls ausführlich untersucht. In weiterer Folge wurde das gekoppelte System aus sigma-Gleichung und Poisson-Gleichung numerisch untersucht. Es wurden Bifurkationspunkte gefunden, welche die Ursache für mehrdeutige Lösungen sind. Nachdem die neuen Verfahren zuerst für Systeme in einer Raumdimension untersucht wurden, wurden sie auf zwei Raumdimensionen erweitert. In diesem Fall ist die numerische Lösung der betrachteten Gleichungen sehr rechenzeitintensiv, weshalb Strategien zur Parallelisierung entwickelt und implementiert wurden.