Funktionalanalysis unendlicher beschränkter Operatoren

Es ist eine in der mathematischen Forschung wohlbekannte Tatsache, dass viele interessante lineare Operatoren, wie etwa der Ableitungsoperator, unbeschränkt sind, für sie existiert also keine Lipschitzkonstante. In diesem Projekt schlagen wir vor, solche linearen Abbildungen als beschränkte Operatoren zu betrachten, allerdings mit einer Schranke die eine unendlich große (verallgemeinerte) Zahl aus dem Ring der Colombeau -Zahlen sein kann. Lineare Abbildungen mit (unendlicher) Lipschitz-Konstante werden unendliche beschränkte Operatoren genannt. Die Arbeitspakete in diesem Projekt sind: 1. Theorie der unendlichen beschränkten Operatoren; 2. Anwendungen in der mathematischen Physik und der Quantenmechanik; 3. Universelle Eigenschaften von verallgemeinerten Funktionen und von einfachen unendlichen beschränkten Operatoren; Die Projekt zielt darauf ab, die Flexibilität eines nicht-Archimedischen Zuganges (basierend auf Zahlenbereichen, die auch infinitesimale und unendliche Konstanten enthalten), wie zum Beispiel dem Colombeau Ring der verallgemeinerten Zahlen, zur Verallgemeinerung klassischer Resultate der mathematischen Analysis unter Beweis zu stellen. Zudem sollen wichtige Anwendungen wie die Lösung singulärer Differentialgleichungen untersucht werden sowie Anwendungen in der Quantenmechanik. Die Theorie der unendlichen beschränkten Operatoren ist ein gutes Beispiel für die starken Vereinfachungen, die sich aus der Verwendung von infinitesimalen und unendlichen Zahlen ergeben. Wir sind davon überzeugt, dass dieses Projekt zu verstärkter Forschung im Gebiet der Funktionalanalysis mit solchen Methoden Anlass geben wird. Das Forschungsteam besteht aus: Paolo Giordano (Antragsteller), Michael Kunzinger (Universität Wien) und Hans Vernaeve (Universität Ghent), sowie zwei PhD-Studenten.

Das Projekt betrachtete einen nicht-archimedischen Rahmen (d.h. einen Rahmen neuer Zahlen, der auch infinitesimale und unendliche Konstanten einschließt), wie den Colombeau-Ring verallgemeinerter Zahlen, indem es klassische Ergebnisse der mathematischen Analyse unter Verwendung eines einfacheren Rahmens stark erweiterte und wichtige Anwendungen bei der Lösung singulärer Differentialgleichungen und in der Quantenmechanik zeigte. Wir entwickelten universelle Eigenschaften von verallgemeinerten Funktionen (GF), abgestufte Hilber-Räume von GF, hyperfinite Iterationen von Kontraktionen von GF, Hahn-Banach-Theorem in Räumen von GF, Riesz-Markov-Theorem in Räumen von GF, Anwendungen auf nichtlineare Mechanik, hyperfinite Fourier-Transformation, PDE mit nicht lokal integrierbaren Termen. Die Möglichkeit, infinitesimale und unendliche Zahlen bei der Modellierung physikalischer Systeme zu verwenden, ist ein weiteres wichtiges Merkmal unseres Ansatzes. Die wichtigsten beteiligten Forscher sind: Der Antragsteller P. Giordano, Prof. M. Kunzinger und Prof. H. Vernaeve als leitende Forscher, die an diesem Projekt arbeiten. Außerdem haben wir vier Doktoranden für die Entwicklung dieses Projekts eingestellt. Zwei von ihnen haben ihr Doktoratsstudium erfolgreich abgeschlossen.