Krümmungsbestimmte geometrische Evolutionsprobleme

Das Projekt zielt darauf ab, das mathematische Verständnis in herausfordernden Modellen zu verbessern,in denen Oberflächenspannungen als Hauptantriebskraft wirken unddie Normalgeschwindigkeit der Oberfläche von der Position und der lokalen Form der Oberfläche, insbesondere von der Krümmung, abhängt. Solche Modelle charakterisieren viele Prozesse in den Materialwissenschaften wie etwa Phasentransformation und Kristallwachstum. In der Realität wird die Geschwindigkeit von vielen anderen Faktoren beeinflusst, zum Beispiel Druck, Temperatur, Partikelgröße und umgebende Atmosphäre. Die experimentelle Untersuchung von isolierten physikalischen Prozessen machen die zugrunde liegenden Phänomene verständlich und liefern Hinweise bezüglich komplexeren Prozessen. Die Modelle, die wir in diesem Projekt betrachten, sind durch Variationsprobleme gegeben, die auf einer Menge von Oberflächen oder allgemeiner durch die Vereinigung von Oberflächen definiert sind, und werden sowohl im statischen als auch im evolutionären Fall untersucht. Im statischen Fall suchen wir nach Oberflächen, die eine Gleichgewichtskonfiguration des Modells darstellen, und untersuchen die Regelmäßigkeit solcher Gleichgewichtsoberflächen. Im evolutionären Fall suchen wir nach einer Menge von Oberflächen in Abhängigkeit von Zeitparametern, die sich gemäß bestimmten Evolutionsgleichungen entwickeln, zum Beispiel flächenminimierenden Fluss. Der bahnbrechende Charakter des Projekts ist die Untersuchung neuer Forschungsfragen und Forschungsideen in drei Hauptrichtungen krümmungsbedingter Evolutionsprobleme, die derzeit offene und aktuelle Themen in Geometrischer Analyse, Variationsrechnung und Differentialgleichungen sind. Zunächst konzentrieren wir uns auf die schwachen krümmungsbedingten Flüsse und untersuchen ihre Existenz und Regelmäßigkeit. Zusätzlich untersuchen wir die Singularitätsbildung im Fluss, das Langzeitverhalten und die Konsistenz unseres schwachen Flusses mit klassischen Lösungen. Das zweite Ziel des Projekts bezieht sich auf Graph-ähnliche Minimierer eines Problems mit der geringsten Fläche, und das dritte Ziel ist das Finden von Willmore-Oberflächen und Willmore-Flüssen, die bestimmten festen Randbedingungen unterliegen. Die Methodik kombiniert und/oder modifiziert vorhandene Methoden in der geometrischen Maßtheorie, der Variationsrechnung sowie Differentialgleichungen. Insbesondere verwenden wir Ergebnisse aus der Theorie für Mengen endlicher Perimeter, minimaler Oberflächen, Gradientenflüsse, der Regelmäßigkeitstheorie, der konvexen Analysis, Plateau Problemen sowie von Willmore- Gleichungs- und Willmore-Grenzproblemen. Vielversprechende vorläufige Ergebnisse wurden bereits erzielt.

Das Projekt zielte darauf ab, das mathematische Verständnis krümmungsgetriebener geometrischer Entwicklungen zu vertiefen, bei denen die Oberflächenspannung die treibende Kraft ist und die Geschwindigkeit sowohl von der Position als auch der lokalen Geometrie der Oberfläche - insbesondere der Krümmung - abhängt. Inspiriert durch physikalische Prozesse in der Materialwissenschaft (etwa Kristallwachstum und Phasenübergänge), konzentrierte sich das Projekt auf variationale Modelle, formuliert über Energie-Funktionale auf Flächen oder deren Vereinigungen (sogenannte Oberflächenverzweigungen). Sowohl statische (Energie-Minimierung) als auch dynamische (evolutionäre) Aspekte wurden in drei Hauptbereichen untersucht, die alle erfolgreich bearbeitet wurden: 1. Schwache krümmungsabhängige Flüsse Untersucht wurden krümmungsabhängige Flüsse planarer (polygonaler) Netzwerke im kristallinen Rahmen. Zentrale Ergebnisse: Existenz und Regularität solcher Flüsse; Analyse von Singularitätsbildung und Restart-Mechanismen. 2. Minimierer geringster Fläche mit graphartiger Struktur Untersucht wurde die Regularität von Minimisierern gestörter (auch anisotroper) Flächenfunktionale. Ein zentrales Ergebnis ist die Herleitung der Regularität eindimensionaler Minimisierer, was eine De-Giorgi-Vermutung im eindimensionalen Fall teilweise bestätigt. 3. Willmore-Typ-Probleme Analysiert wurde der kristalline elastische Fluss (Willmore-Typ) polygonaler Kurven. Hauptresultate: Existenz und Eindeutigkeit solcher Flüsse; Analyse des Verhaltens zum Maximalzeitpunkt und Restart; Langzeitverhalten und Łojasiewicz-Simon-Ungleichungen; Klassifikation stationärer und translatierender Lösungen bei quadratischer Anisotropie. Das Projekt folgte im Wesentlichen dem Arbeitsplan. Eine kleinere Abweichung betraf den Umfang der Willmore-Typ-Flüsse und den Konsistenz von krümmungsabhängige Flüsse (polygonaler) Netzwerke mit Minimizing Movements. Erste Fortschritte wurden erzielt, jedoch sind diese Fragestellungen technisch anspruchsvoller und werden weiterverfolgt. Die übrigen Ziele wurden weitgehend wie geplant erreicht, teils mit größerer Tiefe als erwartet. Obwohl theoretisch ausgerichtet, trägt das Projekt zur Klärung grundlegender Aspekte krümmungsgetriebener Modelle bei, die physikalisch relevante Phänomene der Materialwissenschaft beschreiben. Die entwickelten Methoden leisten einen Beitrag zur mathematischen Modellierung von Grenzflächen und finden voraussichtlich auch Anwendung in Bereichen wie der Bildverarbeitung. Das Projekt erhöhte zudem die Sichtbarkeit der gastgebenden Institution in den Bereichen geometrische Analysis und Variationsrechnung, was sich in Kooperationsanfragen und erhöhter fachlicher Anerkennung nach Konferenzbeiträgen widerspiegelt.