Szegö Sätze für halb-beschränkte reelle Mengen

Spektraltheorie beschäftigt sich mit den Zusammenhängen zwischen physikalischen Objekten und deren spektralen Eigenschaften. Ein Beispiel für ein physikalisches Objekt wäre die Oberfläche eines Teiles des Meeres oder die einer Trommel und spektrale Eigenschaften wären die Frequenzen der Wellen oder der Schwingungen der Trommel. Wir haben daher einerseits ein physikalisches Objekt, welches mathematisch beschrieben werden kann und andererseits spektrale Informationen, die wir messen können. Wenn wir von dem Objekt auf das Spektrum schließen, bezeichnen wir dies als direktes spektrales Problem und als inverses spektrales Problem, wenn die Schlussfolgerung in die umgekehrte Richtung erfolgt. Barry Simon bezeichnet einen Juwel der Spektraltheorie einen Satz über eine Klasse von spektralen Daten und eine Klasse von Objekten, sodass ein Objekt in der zweiten Klasse liegt genau dann, wenn die zugehörigen spektralen Daten in der ersten Klasse liegen. Wir beschäftigen uns hauptsächlich mit selbstandjungierten Problemen, bei welchen die spektralen Daten eine Teilmenge der reellen Achse sind. Falls diese Menge beschränkt ist, sind viele spektraltheoretischen Ergebnisse mithilfe der Robin Konstante der zugrundeliegenden Menge formuliert. Die Robin Konstante hat folgende physikalische Interpretation. Man fragt sich zuerst wie sich eine fixe Menge Ladung auf einer gegebenen Menge verteilen wird, sodass sie einen Gleichgewichtszustand einnimmt. Es ist nun physikalisch zu erwarten, dass das zugehörige Potential auf der Menge konstant ist. Anderenfalls würde es zu einer Ladungsverschiebung kommen, was im Widerspruch zu der Annahme steht, dass die Ladung sich im Gleichgewichtszustand befindet. Diese Beobachtung kann mathematisch bewiesen werden und der zugehörige konstante Wert ist durch die Robin Konstante gegeben. Wenn man sich nun dieser physikalischen Interpretation besinnt, ist es leicht ersichtlich, dass dieser Begriff sich nicht auf unbeschränkte Mengen erweitern lässt, da in diesem Fall die ganze Ladung im Unendlichen verschwinden würde. Andererseits haben viele relevante spektrale Probleme unbeschränkte Spektren. In einer aktuellen Arbeit mit Milivoje Lukic, war es uns möglich den Begriff einer renormalisierten Robin Konstante für gewisse unbeschränkte Mengen zu finden, welche relevant in der Spektraltheorie sind. Ein wichtiges Ziel des Projekts ist spektrale Resultate von beschränkten auf unbeschränkte Mengen zu erweitern.

Orthogonale Polynome treten in vielen Bereichen der Mathematik auf, wie zum Beispiel in der Approximationstheorie, beim Studium diskreter Schrödinger Operatoren, in der Theorie der Zufallsmatrizen oder in der numerischen Mathematik. Ihre Ursprünge reichen bis ins frühe 19. Jahrhundert zurück. Von besonderer Bedeutung sind hierbei den Nullstellen der orthogonalen Polynome zu, die in den verschiedenen Bereichen unterschiedliche Bedeutungen haben. In der Numerik dienen die Nullstellen beispielsweise als Stützstellen für Integrationsformeln, während sie in der mathematischen Physik oft als Eigenwerte physikalischer Systeme auftreten. Zur Modellierung komplexer Systeme muss man den Grad der Polynome sehr groß wählen. In diesem Projekt habe ich mich mit dem lokalen Verhalten der Nullstellen beschäftigt, wenn der Grad der Polynome gegen unendlich geht. Hierbei zeigt sich, dass für viele Systeme die Nullstellen auf lokaler Skala ein ähnliches Verhalten aufweisen. Dieses Phänomen wird als universelle Grenzwerte bezeichnet, die insbesondere in der Theorie der Zufallsmatrizen von großer Bedeutung sind. Es wurde vermutet, dass das lokale Verhalten der Nullstellen nur von den lokalen spektralen Eigenschaften des zugrunde liegenden Systems abhängt. Die in diesem Projekt untersuchten Systeme werden vollständig durch das sogenannte Spektralmaß beschrieben. Gemeinsam mit meinen Koautoren ist es mir gelungen zu zeigen, dass universelle Grenzwerte tatsächlich nur von den lokalen Eigenschaften des Spektralmaßes abhängen. Insbesondere liefert dies einen Beweis der oben formulierten Vermutung. Unser zentrales Resultat besagt, dass Universalität im Hauptteil genau dann auftritt, wenn das Spektralmaß lokal in einem sehr schwachen Sinne dem Lebesgue-Maß ähnelt. Darüber hinaus haben wir entsprechende Charakterisierungen auch für sogenannte harte Randpunkte des Spektrums gefunden und bewiesen.