Attraktionen in nichtlinearen Hamilton Welle-Teilchen-System

Das Hauptthema dieses Forschungsprojektes ist das Langzeitverhalten von Lösungen nichtlinearer Hamilton`schen-PDEs (partieller Differentialgleichungen), die in der Atomphysik entstehen. Insbesondere werden nichtlineare Schrödinger-Gleichungen und die Maxwell-Lorentz-Gleichung mit rotierenden geladenen Teilchen betrachtet. Diese Gleichungen haben Lösungen einer bestimmten Form, die als solitären Wellen oder ``Solitonen`` bezeichnet werden. Es ist bekannt, dass solitäre Wellen von fundamentaler Bedeutung für die Forschung von Evolutionsgleichungen sind, vor allem, weil sie oft leicht berechnet werden können, und zudem, weil sie im Langzeitverhalten von Lösungen dieser Gleichungen entstehen. Die Hauptziele des Projekts sind i) die Langzeit-Konvergenz von Lösungen mit endlicher Energie auf die Menge aller Solitonen zu beweisen; ii) die Stabilität von solitären Wellen zu analysieren. Diese Ziele wurden von den Problemen der Stabilität und der effektiven Dynamik von Elementarteilchen inspiriert, weil diese mit solitären Wellen nichtlinearer Feldgleichungen identifiziert werden können. Diese Identifizierung entspricht der Heisenbergschen Theorie der Elementarteilchen im Zusammenhang mit nichtlinearen hyperbolischen PDEs. Die ersten Ergebnisse in diesem Zusammenhang wurden 1965 von N. Zabusky und M. Kruskal für die Korteweg-de Vries Gleichung durch numerische Simulation erzielt. Im Jahr 1967, entdeckten C. Gardner, J. Greene, M. Kruskal und R. Miura, dass die inverse Streutransformation verwendet werden kann, um diese Gleichung analytisch zu lösen. Es wurde gesehen, dass jede Lösung mit endlicher Energie konvergiert für grosse Zeiten zu Summe einer solitären Welle und einer dispersiven Welle.Wenig später entwickelte P. Lax einen einheitlichen Zugang für allgemeinere integrierbare Gleichungen. Dieser Zugang ist jedoch auf die meisten Grundgleichungen der mathematischen Physik nicht anwendbar, weil sie nicht integrierbar sind. Seit 1990 steht dieses Problem im Zentrum der modernen mathematischen Analyse nichtlinearer PDEs durch fürhrende Experten auf diesem Gebiet: V. Bach, M. Esteban, J. Fröohlich, M. Griesemer, P.-L. Lions, I. Rodnianski, E. Séré, W. Schlag, I. Sigal, A. Soffer, H. Spohn, M. Weinstein und andere. Diese Untersuchungen haben die Entwicklung der mathematischen Physik, der Theorie der PDEs und der Funktionsanalyse stark beeinflusst. Wir planen die Forschung auf neuartige Gleichungen auszudehnen: die Maxwell-Lorentz- Gleichung mit rotierenden geladenen Teilchen und die Schrödinger-Gleichung gekoppelt mit nichtlinearen Oszillator.