Phasenübergang von Ordnungsstörung in 2D-Gittermodellen

Dieses Projekt zielt darauf ab, Schlüsselaspekte von Ordnung-Unordnung-Phasenübergängen in zweidimensionalen Gittermodellen der statistischen Mechanik zu begründen. Phasenübergänge sind natürliche Phänomene, bei denen eine kleine Änderung eines externen Parameters, wie Temperatur oder Druck, eine drastische Änderungen der qualitativen Struktur des Objekts bewirkt. Um dies zu untersuchen schlugen viele Wissenschaftler (wie etwa die Nobelpreisträger Pauling und Flory) das abstrakte Konzept von Gittermodellen vor: Das Material wurde als eine Ansammlung von Teilchen auf einem regelmäßigen Gitter modelliert, die nur mit ihren nächsten Nachbarn wechselwirken. Trotz der vereinfachenden Natur dieser Annahme haben sich Gittermodelle als ein wertvolles Hilfsmittel für die mathematische Untersuchung von Phasenübergängen erwiesen. In zwei Dimensionen hat sich die planare Dualität als ein leistungsfähiges Werkzeug zur Bestimmung und Beschreibung von Phasenübergängen erwiesen. Es ist natürlich, das Modell auf immer feineren Gitterapproximationen einer gegebenen Domäne zu untersuchen. Betrachtet man es als Domäne auf der komplexen Ebene, so wurde vermutet, dass am kritischen Punkt der Grenzwert existiert und unter einer großen Gruppe von Transformationen, einschließlich Reskalierungen und Rotationen, invariant ist. Das Projekt betrachtet mehrere klassische Modelle der statistischen Mechanik, und die Hauptziele können am Beispiel einer einparametrigen Familie von Schleifenmodellen beschrieben werden. Für bestimmte Parameter weisen diese Modelle einen Phasenübergang von logarithmisch kleinen zu makroskopischen Schleifen auf. Besonderes Interesse gilt dabei dem vermuteten fraktalen Verhalten der makroskopischen Schleifen und einem topologischen Phasenübergang vom bahnbrechenden Berezinskii-Kosterlitz-Thouless-Typ. Für andere Parameter gibt es einen Übergang von einem verdünnten zu einem dichten System von kleinen Schleifen. In den letzten Jahren hat es einen erstaunlichen Fortschritt bei der Untersuchung von Modellen gegeben, in denen verschiedene Teile der Konfiguration positiv korreliert sind. Diese Eigenschaft gehört zu den wichtigsten Werkzeugen, die im Rahmen des Projekts verwendet und weiterentwickelt werden sollen. Andere wichtige Werkzeuge sind präzise Gleichungen über die Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse, die mit Hilfe der Yang-Baxter-Transformation und diskreten holomorphen Observablen erhalten werden.