Unendliche singuläre Systeme und zufällige diskrete Objekte

Diskrete Objekte treten in Zusammenhang mit Computern und Algorithmen quasi alltäglich etwa als Datenstrukturen oder als Netzwerke auf. In den letzten Jahrzehnten haben sich in der Mathematik verschiedene Methoden entwickelt, um diskrete Objekte zu analysieren. Der erste mathematische Frage ist üblicherweise jene, wie viele verschiedene Objekte es einer gewissen Größe gibt, also ein kombinatorisches Abzählproblem. Ein weitere Frage ist, welche Eigenschaften ein diskretes Objekt typischerweise hat. Formal stattet man dazu die Objekte mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung aus und sucht nach Aussagen, die mit großer Wahrscheinlichkeit auftreten, also z.B. welchen Abstand man in großen Netzwerken erwarten kann. Eine sehr mächtige mathematische Methode, diese beiden Fragen zu beantworten, sind sogenannte erzeugende Funktionen, also Potenzreihen, deren Koeffizienten die gesuchten Anzahlen oder auch die Wahrscheinlichkeitsverteilungen kodieren. Die Struktur der zu untersuchenden diskreten Objekte spiegelt sich in mathematischen Eigenschaften wie Funktionalgleichungen bzw. auch Systemen von Funktionalgleichungen für die erzeugenden Funktionen wider. Eine genaue mathematische Analyse solcher Funktionalgleichung bzw. Systeme von Funktionalgleichungen führt dann zu Lösungen der angesprochenen Fragen, insbesondere gelingt es in vielen Fällen, auch wenn eine exakte Lösung nicht erreichbar ist, eine näherungsweise Lösung zu gewinnen, die asymptotisch ebenso aussagekräftig ist wie eine exakte Lösung. Das Ziel des Projekts ist es, asymptotische Aussagen für endliche Funktionalgleichungssystem auf unendliche Systeme zu übertragen. Unendliche Systeme treten tatsächlich sehr häufig auf, es gibt aber bisher nur sehr wenige mathematische Resultate. Diese sollen nur systematisch untersucht werden, zunächst für sogenannte reduzierbare Systeme, dann für Systeme mit einer zusätzlichen katalytischen Variablen und schließlich für fast-periodische lineare und fast-periodisch nicht-lineare Systeme.