Stochastische Oberflächen: Wachstum und Universalität

Das Ziel dieses Projekts ist die mathematische Analyse zufälliger Flächen, die in vielfach in der echten Welt auftreten. Ein Beispiel sind sogenannte Oberflächenwachstumsphänomene. Ein solches kann leicht beobachtet werden: wenn man Kaffee auf einem Blatt Papier ausschüttet beobachtet man eine ungefähr runde Verfärbung, die sich auf dem Blatt ausbreitet. Bei genauerer Beobachtung sieht man aber, dass der Fleck nicht ein exakter Kreis ist, sondern an der Grenze zum weißen Papier sich immer mehr windet und zufälliger wird, je mehr Kaffee man auf das Blatt leert. Ein ähnliches Verhalten kann experimentell bei Verbrennungsfronten, Kristallbildung, bakteriellen Wachstum und bei vielen anderen Beispielen festgestellt werden. Während das Kaffeebeispiel in einer zweidimensionalen Umgebung (dem Papier) stattfindet, finden viele anderen Wachstumsphenomene in den üblichen drei Dimensionen statt (zum Beispiel, wenn in einem Garten Schnee fällt und sich so eine Oberfläche bildet). Basierend auf experimentellen Beobachtungen und theoretischen Überlegungen haben Physiker vorhergesagt, dass zufällige Oberflächen, die ihren Ursprung in sehr verschiedenen physikalischen Systemen haben, die gleichen Schwankungsmuster zeigen. Dieses Phänomen nennt man Universalität. Dieses Phänomen mithilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie rigoros zu verstehen ist eine spannende Herausforderung für Mathematiker. Um zufällige Flächen zu untersuchen beschreiben Mathematiker sie mit vereinfachten Modellen oder Gleichungen, die aber dennoch die essentiellen Eigenschaften der echten Phänomene beinhalten. Manche dieser vereinfachten Modelle sind immer noch sehr herausfordernd und ihre Analyse benötigt sehr spezielle Techniken aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, sowie die kombinatorische Analyse der diskreten Oberflächenmodelle. In den letzten Jahrzehnten gab es im Bereich der zweidimensionale Wachstumsphenomene viele mathematische Fortschritte gemacht, die viele unerwartete und faszinierende Aspekte offenbarten. Im Gegensatz dazu sind drei und höher dimensionale Wachstumsmodelle noch größtenteils unerforscht und eines der Hauptziele dieses Projekts ist in diese Richtung Fortschritt zu machen. Ein weiteres Ziel ist die Laufzeitanalyse probabilistischer Algorithmen, die verwendet werden um Stichproben aus der Verteilung von zufälligen Flächen zu ziehen. Dies ist ein sehr aktives mathematisches Feld, das Wahrscheinlichkeitstheorie, Computerwissenschaft und Kombinatorik verbindet.