Verschränkungsoperatoren in Quanten-Vielteilchenphysik

Verschränkung ist eine der faszinierendsten Eigenschaften der Quantenmechanik. Das Phänomen der Quantenverschränkung bezieht sich auf eine bestimmte Art von Korrelationen, die in der klassischen Welt nicht vorhanden ist. Es ist der wichtigste Bestandteil hinter dem Konzept der Quantencomputing, die in der Zukunft zu einer informationstechnischen Revolution führen könnte. Die Verschränkung spielt jedoch auch eine zentrale Rolle beim Verständnis der grundlegenden Prinzipien der Physik von Quanten-Vielteilchensystemen bei extrem niedrigen Temperaturen. Diese Erkenntnis hat in den letzten Jahrzehnten zu enormen Anstrengungen in der Erforschung von Verschränkungseigenschaften geführt, mit besonderem Schwerpunkt auf Verschränkungsmaßen in niederdimensionalen Systemen. Vereinfacht ausgedrückt bezeichnet Verschränkung den Mechanismus, wie verschiedene Teile eines Vielteilchensystems in dem betrachteten Quantenzustand gekoppelt sind. In einer klassischen Aufstellung schreibt uns die statistische Mechanik vor, dass ein kleiner, aber makroskopischer Teil eines größeren Gesamtsystems durch ein thermisches Ensemble mit dem Hamiltonoperator des Untersystems beschrieben wird. In Vielteilchensystemen bei tiefen Temperaturen, zum Beispiel im Grundzustand, dominieren Quantenkorrelationen gegenüber thermischen und die Beschreibung ändert sich vollständig. Man könnte den Zustand eines Teilsystems jedoch immer noch als eine Art thermischen Zustand mit dem sogenannten Verschränkungsoperator beschreiben, der im Mittelpunkt dieses Projekts steht. In den letzten Jahren ist das Interesse an der Untersuchung von Verschränkungsoperatoren sowohl auf theoretischer als auch auf experimenteller Seite gestiegen, und eine Reihe wichtiger Merkmale wurden entdeckt. In einer breiten Klasse von eindimensionalen Grundzuständen ähnelt sich der Verschränkungsoperator eines Untersystems dem physikalischen Hamiltonoperator, allerdings mit einer räumlich variierenden inversen Temperatur. Die bemerkenswerte Einfachheit des Verschränkungsoperators im obigen Beispiel wirft zahlreiche Fragen auf und eröffnet neue Forschungsrichtungen. Wie ändert sich der Verschränkungsoperator, wenn bereits im physikalischen Hamiltonoperator eine Inhomogenität vorliegt? Wie kann man den Übergang von dem Verschränkung- zum physikalischen Hamiltonoperator bei höheren Energien beschreiben? Was passiert bei 2D-Fermionensystemen mit einer nichttrivialen Fermi-Fläche? Wie sieht die Situation aus, wenn das System aus dem Gleichgewicht getrieben wird? Dies sind einige der Hauptziele, die in diesem Forschungsprojekt angegangen werden sollen.

Die Thermodynamik beschreibt die Gleichgewichtseigenschaften makroskopischer Vielteilchensysteme, die in ein Wärmebad eingebettet sind. Insbesondere werden die Energiefluktuationen des Systems durch die Temperatur des Reservoirs charakterisiert. Wird das Gesamtsystem auf Temperatur Null abgekühlt, verschwinden thermische Fluktuationen vollständig. In den Grundzuständen quantenmechanischer Vielteilchensysteme bleiben jedoch aufgrund von Verschränkung einige Quantenfluktuationen erhalten, da zwei Teile eines bipartiten Systems in der Wellenfunktion miteinander gekoppelt sind. Der Verschränkungsoperator (Entanglement Hamiltonian, EH) ist ein aus einer thermodynamischen Analogie eingeführtes Objekt und beschreibt die Struktur dieser Quantenfluktuationen. Er liefert den reduzierten Zustand eines Untersystems in exponentieller Form; es ist jedoch keineswegs offensichtlich, ob der EH - wie in der Thermodynamik - eine Beziehung zum physikalischen Hamiltonoperator hat. Bemerkenswerterweise besitzt der EH für eine breite Klasse eindimensionaler Grundzustände eine sehr einfache lokale Struktur. Tatsächlich kann er so interpretiert werden, als ob das Untersystem einer inhomogenen Temperatur ausgesetzt wäre, die in der Nähe der Randbereiche sehr hoch ist und gegen Null zum Inneren hin abfällt. Dies wirft Licht auf den Ursprung des Flächengesetzes der Verschränkung. Ziel dieses Projekts war es, den EH in freien Fermionsystemen in bislang unerforschten Situationen zu untersuchen und eine Verbindung zwischen Gitterergebnissen und Vorhersagen der Quantenfeldtheorie herzustellen. Wir erweiterten bestehende Resultate in verschiedene Richtungen, etwa auf komplexere Untersystemgeometrien, höhere Dimensionen, inhomogene Systeme sowie Nichtgleichgewichtsszenarien. Als erstes Hauptergebnis identifizierten wir eine eigentümliche nichtlokale Struktur im EH für zwei getrennte Blöcke in einer eindimensionalen Kette und bestätigten damit feldtheoretische Vorhersagen. Außerdem untersuchten wir halbunendliche Ketten und beobachteten, dass der EH dort selbst auf dem Gitter strikt lokal wird, sowohl für gapped als auch für gaplose Grundzustände. Bei der Betrachtung des EH eines sphärischen Gebiets in einem nichtrelativistischen Fermigas fanden wir, dass die Lokalität nur in einer Dimension asymptotisch wiederhergestellt wird, während in höheren Dimensionen Abweichungen bei großen Drehimpulsen auftreten. Weiterhin untersuchten wir Modelle, in denen Inhomogenitäten bereits im physikalischen Hamiltonoperator vorhanden sind. Für eine Hüpfkette in einem linearen Potential oder ein Fermigas in einer harmonischen Falle zeigten wir, dass das Untersystem effektiv einer linearen inversen Temperatur unterliegt. Darüber hinaus verifizierten wir, dass verschiedene Familien inhomogener Ketten, die mit diskreten orthogonalen Polynomen zusammenhängen, entweder durch eine lineare oder eine parabolische inverse Temperatur beschrieben werden. Schließlich betrachteten wir auch eine Nichtgleichgewichts-Hüpfkette nach einem lokalen Quench. In diesem Szenario kodiert der EH zwei unterschiedliche inverse Temperaturen, die den links- und rechtslaufenden Komponenten der Energiedichte zugeordnet sind. Die Ergebnisse dieses Projektes tragen wesentlich zu einem besseren Verständnis der Verschränkungsstruktur in quantenmechanischen Vielteilchensystemen bei.