Integralgeometrie auf konvexen Funktionen

Eine klassische Formel, die zuerst von Cauchy bewiesen wurde, besagt, dass die Oberfläche eines beliebigen konvexen Körpers im dreidimensionalen Raum durch Mittelung über die Flächen seiner Projektionen auf zweidimensionale Ebenen berechnet werden kann. Später wurden allgemeinere Formeln für beliebige Dimensionen entdeckt, die nicht nur die Oberfläche, sondern auch die sogenannten intrinsischen Volumina betreffen. Diese und andere ähnliche Formeln werden im Bereich der Integralgeometrie betrachtet. Integralgeometrie wurde unter anderem genutzt, um vektorwertige Analoga der intrinsischen Volumina zu definieren, welche selbst wiederum interessante integralgeometrische Identitäten erfüllen. Darüber hinaus wurden tensorwertige Verallgemeinerungen der intrinsischen Volumen gefunden. Kürzlich wurden die intrinsischen Volumina von konvexen Körpern auf konvexe Funktionen erweitert. Diese neuen funktionalen intrinsischen Volumen verallgemeinern ihre klassischen Gegenstücke und teilen viele ihrer Eigenschaften. Insbesondere wurden neue funktionale Versionen der Cauchyschen Oberflächenformel gefunden. Ziel des Projekts ist es weitere Formeln dieser Art zu finden und Integralgeometrie auf konvexen Funktionen zu etablieren. Außerdem planen wir diese neue Theorie auf den vektor- und tensorwertigen Fall auszudehnen, wobei zunächst neue sinnvolle Operatoren definiert werden müssen. Dort möchten wir auch die neu gefundenen Operatoren charakterisieren. Es ist zu erwarten, dass solche Resultate zu verschiedenen weiteren Ergebnissen wie beispielsweise Ungleichungen führen werden. Da die klassischen Operatoren in Bereichen wie der Materialwissenschaft oder der medizinischen Bildgebung Anwendung finden, sind auch ihre potenziellen funktionalen Versionen mögliche Kandidaten für solche Anwendungen.

Kann man die Oberfläche einer geometrischen Figur aus ihren Schatten bestimmen? Eine elegante Antwort auf diese Frage liefert die Cauchysche Oberflächenformel, ein klassisches Resultat der Integralgeometrie, ein Gebiet, in dem man, vereinfach gesagt, geometrische Funktionale mittelt. Cauchys Formel besagt, dass sich die Oberfläche eines konvexen Körpers berechnen lässt, indem man die Flächen seiner Schatten aus allen Richtungen mittelt. Eines der wichtigsten Resultate dieses Projekts ist eine Verallgemeinerung dieser Formel, bei der Mittelungen von Schatten um eine feste Achse betrachtet werden. Diese Verallgemeinerung fand in weiterer Folge zahlreiche Anwendungen, unter anderem um Fragestellungen über Ungleichungen für Funktionen, Minkowski Probleme oder Erweiterungen vektorwertiger Kenngrößen (wie dem Schwerpunkt) von Körpern auf Funktionen zu behandeln. Vektorwertige Kenngrößen bilden neben der Integralgeometrie den zweiten Hauptfokus dieses Projekts. Dabei geht es um Vektoren, die man geometrischen Objekten zuordnet. Ein Beispiel ist der Schwerpunkt, der sich unter anderem dadurch auszeichnet, dass er bei einer Drehung des Objekts mitdreht und bei einer Verschiebung des Objekts ebenfalls verschoben wird. Der Schwerpunkt gehört zusammen mit anderen Größen wie dem Steinerschen Punkt im Wesentlichen zu den einzigen additiven Kenngrößen, die sich mit dem Objekt mitbewegen. In diesem Projekt wurden nun ähnliche Vektoren gefunden, die allerdings konvexen Funktionen zugeordnet werden. Dabei stellt sich heraus, dass es für Funktionen auch sehr natürliche Vektoren gibt, die zwar mitdrehen, jedoch bei einer Verschiebung der Funktion unverändert bleiben - ein neues Phänomen, das bei konvexen Körpern nicht auftritt. Die oben erwähnten Vektoren konnten in weiterer Folge anhand ihrer geometrischen Eigenschaften charakterisiert werden. Das heißt, sie sind die einzigen geometrischen Kenngrößen mit diesen Eigenschaften. Solche Resultate finden wiederum Anwendung in der Integralgeometrie, was die enge Verknüpfung der behandelten Themen hervorhebt.