Integralgeometrie auf konvexen Funktionen

Eine klassische Formel, die zuerst von Cauchy bewiesen wurde, besagt, dass die Oberfläche eines beliebigen konvexen Körpers im dreidimensionalen Raum durch Mittelung über die Flächen seiner Projektionen auf zweidimensionale Ebenen berechnet werden kann. Später wurden allgemeinere Formeln für beliebige Dimensionen entdeckt, die nicht nur die Oberfläche, sondern auch die sogenannten intrinsischen Volumina betreffen. Diese und andere ähnliche Formeln werden im Bereich der Integralgeometrie betrachtet. Integralgeometrie wurde unter anderem genutzt, um vektorwertige Analoga der intrinsischen Volumina zu definieren, welche selbst wiederum interessante integralgeometrische Identitäten erfüllen. Darüber hinaus wurden tensorwertige Verallgemeinerungen der intrinsischen Volumen gefunden. Kürzlich wurden die intrinsischen Volumina von konvexen Körpern auf konvexe Funktionen erweitert. Diese neuen funktionalen intrinsischen Volumen verallgemeinern ihre klassischen Gegenstücke und teilen viele ihrer Eigenschaften. Insbesondere wurden neue funktionale Versionen der Cauchyschen Oberflächenformel gefunden. Ziel des Projekts ist es weitere Formeln dieser Art zu finden und Integralgeometrie auf konvexen Funktionen zu etablieren. Außerdem planen wir diese neue Theorie auf den vektor- und tensorwertigen Fall auszudehnen, wobei zunächst neue sinnvolle Operatoren definiert werden müssen. Dort möchten wir auch die neu gefundenen Operatoren charakterisieren. Es ist zu erwarten, dass solche Resultate zu verschiedenen weiteren Ergebnissen wie beispielsweise Ungleichungen führen werden. Da die klassischen Operatoren in Bereichen wie der Materialwissenschaft oder der medizinischen Bildgebung Anwendung finden, sind auch ihre potenziellen funktionalen Versionen mögliche Kandidaten für solche Anwendungen.