Rationale Kurven via analytischer Zahlentheorie

Polynomgleichungen sind ein Eckpfeiler moderner Mathematik. Über den ganzen Zahlen werden diese "diophantischen Gleichungen" seit Jahrtausenden untersucht, um Fragen über die Existenz und die Dichte von ganzzahligen Lösungen zu beantworten. Betrachtet man Polynomgleichungen über den komplexen Zahlen, so definieren diese algebraische Varietäten, deren Klassifikation eine Schlüsselrolle in der modernen algebraischen Geometrie einnimmt und in der italienischen Schule der algebraischen Geometrie im 19. Jahrhundert verwurzelt ist. Seit langer Zeit ist bekannt, dass die Geometrie des definierenden Gleichungssystems einen starken Einfluss auf dessen Arithmetik hat. Allerdings wurde in den letzten Jahren festgestellt, dass sich der Informationsfluss umkehren lässt und ein überraschender Zusammenhang zwischen der Geometrie rationaler Kurven auf hö her dimensionalen algebraischen Varietäten und der Dichte von Lösungen diophantischer Gleichungen über "globalen Funktionenkörpern in positiver Charakteristik" entdeckt. Hauptziel dieses Antrags ist es diese Verbindung auszubauen, indem der Fourier-analytische Zugang durch die Kreismethode weiter verfeinert wird und dadurch zentrale Probleme in der algebraischen Geometrie über Modulräume rationaler Kurven auf passenden Varietäten zu behandeln.