Rationale Kurven via analytischer Zahlentheorie

Polynomgleichungen sind ein Eckpfeiler moderner Mathematik. Über den ganzen Zahlen werden diese "diophantischen Gleichungen" seit Jahrtausenden untersucht, um Fragen über die Existenz und die Dichte von ganzzahligen Lösungen zu beantworten. Betrachtet man Polynomgleichungen über den komplexen Zahlen, so definieren diese algebraische Varietäten, deren Klassifikation eine Schlüsselrolle in der modernen algebraischen Geometrie einnimmt und in der italienischen Schule der algebraischen Geometrie im 19. Jahrhundert verwurzelt ist. Seit langer Zeit ist bekannt, dass die Geometrie des definierenden Gleichungssystems einen starken Einfluss auf dessen Arithmetik hat. Allerdings wurde in den letzten Jahren festgestellt, dass sich der Informationsfluss umkehren lässt und ein überraschender Zusammenhang zwischen der Geometrie rationaler Kurven auf hö her dimensionalen algebraischen Varietäten und der Dichte von Lösungen diophantischer Gleichungen über "globalen Funktionenkörpern in positiver Charakteristik" entdeckt. Hauptziel dieses Antrags ist es diese Verbindung auszubauen, indem der Fourier-analytische Zugang durch die Kreismethode weiter verfeinert wird und dadurch zentrale Probleme in der algebraischen Geometrie über Modulräume rationaler Kurven auf passenden Varietäten zu behandeln.

Dieses Projekt untersucht grundlegende Fragestellungen der Zahlentheorie und der Diophantischen Geometrie, also mathematischer Gebiete, die sich mit Lösungen polynomialer Gleichungen in ganzen Zahlen oder Brüchen beschäftigen. Solche Gleichungen lassen sich leicht formulieren, doch zu verstehen, ob sie überhaupt Lösungen besitzen - und wenn ja, wie viele - ist oft außerordentlich schwierig. Ein zentrales Merkmal der Forschung ist, dass sie zugleich auch die algebraische Geometrie voranbringt, indem gezeigt wird, wie leistungsfähige Methoden aus der Zahlentheorie auf geometrische Fragestellungen übertragen werden können. Die Arbeiten verbinden Werkzeuge aus der analytischen Zahlentheorie, der Algebra und der Geometrie. Ein zentrales Thema ist die Untersuchung rationaler Punkte, also Lösungen polynomialer Gleichungen in rationalen Zahlen. Diese Lösungen liegen auf geometrischen Objekten, sogenannten Varietäten, die Kurven, Flächen oder höherdimensionale, durch Gleichungen definierte Formen sein können. Eine der grundlegendsten und zugleich schwierigsten Fragen besteht darin zu verstehen, wann solche Lösungen überhaupt existieren und wie häufig sie auftreten, wenn man ihre Größe beschränkt. Mehrere im Rahmen des Projekts entstandene Arbeiten erzielen hier Fortschritte. In der Arbeit "Integral points on cubic surfaces: heuristics and numerics" wird eine neue Vermutung formuliert, die vorhersagt, wie dicht ganzzahlige Lösungen auf einer großen Klasse kubischer Flächen auftreten sollten, wobei theoretische Überlegungen mit umfangreichen numerischen Experimenten kombiniert werden. Ein weiterer Höhepunkt ist die Arbeit "Pairs of commuting integer matrices", die eine natürliche algebraische Fragestellung mit Bezügen zu Symmetrie und linearer Algebra untersucht und eine nahezu optimale obere Schranke für die Häufigkeit angibt, mit der Paare ganzzahliger Matrizen miteinander kommutieren. Darüber hinaus leistet das Projekt Beiträge zur algebraischen Geometrie, indem es Fragen zur Geometrie hochkomplexer Formen behandelt. Die Arbeit "Rational curves on complete intersections and the circle method" untersucht, welche einfachen und gut verstandenen Kurven - etwa Geraden oder Parabeln - auf komplizierten, hochdimensionalen Objekten liegen können, die als vollständige Durchschnitte bezeichnet werden. Diese Forschungsrichtung wird in der Arbeit "Rational surfaces on low degree hypersurfaces" deutlich weitergeführt, indem über Kurven hinausgegangen wird und zweidimensionale "flache" Objekte, sogenannte rationale Flächen, innerhalb noch komplexerer Hyperebenen untersucht werden. Mithilfe fortgeschrittener Methoden aus der analytischen Zahlentheorie wird dabei ein neuartiges Zusammenhangsresultat bewiesen, das beschreibt, wie diese Flächen angeordnet sind und in welcher Weise sie miteinander in Beziehung stehen. Ergebnisse dieser Art sind selten und stellen einen der ersten Erfolge dar, bei denen analytische Techniken zur Lösung solcher geometrischer Fragestellungen eingesetzt werden. Insgesamt zeigt das Projekt, wie sich Ideen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik kombinieren lassen, um langjährige und grundlegende Probleme voranzubringen.