Das Standardmodell als geometrisches Variationsproblem

Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik ist eines der erfolgreichsten Modelle der modernen theoretischen Physik. Es beschreibt sowohl die elektromagnetischen Kräfte als auch die Kernkräfte in einem einheitlichen Modell und kann Vorhersagen für Experimente an Teilchenbeschleunigern mit enormer Präzision leisten. Der Erfolg des Standardmodells lässt sich auch daran erkennen, dass es zu mehreren Nobelpreisen geführt hat. Trotzdem ist es nicht möglich, das Standardmodell mit der Gravitation in einer konsistenten Art und Weise zu vereinheitlichen, was vor allem an seiner nicht gut verstandenen mathematischen Struktur liegt. Das Standardmodell basiert im Wesentlichen auf den aus Experimenten gewonnenen Erkenntnissen an Teilchenbeschleunigern, seine mathematische Struktur ist daher nur bedingt erforscht und dieses Projekt soll einen Beitrag dazu liefern, diese Lücke zu schließen. In der Physik wird das Standardmodell meist auf einer flachen Raumzeit studiert, zum einen führt dies zu vielen mathematischen Vereinfachungen, außerdem ist unsere Raumzeit nahezu flach, so dass diese Annahme gerechtfertigt ist. Allerdings wird die mathematische Struktur des Standardmodells erst sichtbar, wenn dies in einem allgemeinen geometrischen Rahmen formuliert wird, welches das erste Ziel dieses Projekts darstellt. Nachdem diese Struktur etabliert wurde, werden die Gleichungen für die (klassischen) Lösungen des Standardmodells hergeleitet. In der Physik ist man meist an der quantisierten Version der Lösungen interessiert, dies setzt allerdings stillschweigend voraus, dass die klassischen Lösungen existieren. Für Gleichungen dieser Art (nicht-lineare Wellengleichungen) wurden in den letzten Jahren mächtige mathematische Werkzeuge entwickelt mit deren Hilfe die Gleichungen des Standardmodells mit voller mathematischer Rigorosität untersucht werden können. Ein weiterer wichtiger Bestandteil dieses Projektes ist die Untersuchung der mathematischen Struktur des Higgs-Mechanismus. Der Higgs-Mechanismus ist im Standardmodell dafür verantwortlich, dass die in diesem Modell beschriebenen Elementarteilchen eine Masse erhalten. Auf Grund der besonderen mathematischen Struktur des Standardmodells ist es nämlich nicht möglich, den Elementarteilchen direkt eine Masse zuzuordnen, sondern diese muss erst in einem zweiten Schritt durch den Higgs-Mechanismus erzeugt werden. Allerdings sind noch viele mathematische Fragen bzgl. der Struktur des Higgs-Mechanismus unerforscht. Zusätzlich zur Erzeugung der gewünschten Massen der Elementarteilchen generiert der Higgs-Mechanismus auch weitere, in der Theorie unerwünschte, Teilchen. So lange man das Standardmodell im flachen Raum betrachtet, ist es möglich, diese unphysikalischen Teilchen wieder aus der Theorie zu entfernen. Ob dies immer noch möglich ist, wenn das Standardmodell in einem abstraktem geometrischen Rahmen untersucht wird, ist eine offene Frage und wird in diesem Projekt systematisch untersucht werden.