Anisotrope fraktionelle Perimeter und Riesz-Energien

Der Perimeter (oder höher-dimensionale Umfang) ist ein grundlegender Begriff in der euklidischen Geometrie, und die klassische euklidische isoperimetrische Ungleichung ist eines der wichtigsten Ergebnisse der Geometrie. Sie besagt, dass Kugeln das maximale Volumen unter allen Mengen gegebenen Perimeters haben. Viele Ergebnisse in Geometrie und Analysis beruhen auf diesem Ergebnis. Insbesondere die sogenannten Sobolev-Ungleichungen, die für die Theorie der partiellen Differentialgleichungen grundlegend sind, lassen sich aus der euklidischen isoperimetrischen Ungleichung ableiten. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts führte Minkowski anisotrope Perimeter (auch erste gemischte Volumina genannt) ein und bewies die Minkowski-Ungleichung (auch anisotrope isoperimetrische Ungleichung genannt). Diese Ungleichung hat zahlreiche Anwendungen und stellt eine der Säulen der sogenannten Brunn-Minkowski-Theorie dar. In den letzten Jahren haben nicht-lokale Versionen von Perimeter viel Aufmerksamkeit gefunden. Hier besagen die isoperimetrischen Ungleichungen, dass Kugeln maximales Volumen für alle Mengen eines gegebenen s-fraktionalen Perimeter haben (wobei s ein Parameter ist). Diese und verwandte nicht-lokale Funktionale werden verwendet, um nicht-lokale Phänomene in vielen Anwendungen zu modellieren. Das Forschungsprojekt zielt darauf ab, nicht-lokale Versionen der anisotropen isoperimetrischen Ungleichung und verwandter Ungleichungen zu etablieren. Im nicht-lokalen Kontext entspricht dies dem Schritt von der euklidischen Geometrie zur Brunn-Minkowski Theorie. Das Projekt zielt auch darauf ab, entsprechende Ungleichungen in der Analysis zu etablieren, insbesondere scharfe anisotrope fraktionelle Sobolev-Ungleichungen.